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Eine Frage, ein Klick, sofort Klarheit. Genau so arbeitest du hier in jedem Kapitel.
Was gilt für das sichere Ereignis, also den gesamten Ergebnisraum Ω?
Kapitel 3 ist frei.
Anleihen, Renten & Zinsstruktur ist deine Gratis‑Lektion: Einstieg, Rechenweg, Beispiel und der Selbsttest mit 16 Fragen. Danach entscheidest du selbst.
Kapitel 1 · Einstieg
Arbitrage & Barwert
Stell dir vor, dasselbe Konzertticket, gleicher Block, gleiche Reihe, wird am einen Stand für 90 €, am Stand daneben für 110 € angeboten. Du würdest billig kaufen und teuer weiterreichen: ein sicherer Gewinn ganz ohne eigenen Einsatz. Genau das ist Arbitrage. In einem funktionierenden Markt verschwindet so eine Chance sofort, deshalb kosten gleiche Dinge überall gleich viel. Das ist das Gesetz des einheitlichen Preises.
Zweite Alltagsfrage: Ein Freund will dir 100 € zurückzahlen, heute oder erst in einem Jahr. Heute ist klar besser, denn das Geld könnte in der Zwischenzeit Zinsen bringen. Geld, das erst später fließt, ist heute also weniger wert. Dieses Kapitel macht aus dieser Intuition eine präzise Zahl, den Barwert, und zeigt, wie du damit jede Investitionsentscheidung sauber begründest.
Neugier-Fragen
Kurz erklärt, „Neugier-Fragen“: kleine Fragen, die du dir selbst stellst, um aktiv mitzudenken, nicht zum Googeln, sondern zum inneren Beantworten, während die Lektion läuft. So funktioniert’s, an einer Frage einmal vorgemacht (Frage, dann Denk-Schritt, dann Antwort, die du gleich prüfst):
Ein Sparbrief zahlt dir in einem Jahr sicher 1.100 €. Der Marktzins beträgt 10 %. Ist er heute schon 1.100 € wert?
Denk-Schritt: Du müsstest heute nur so viel anlegen, dass daraus mit 10 % genau 1.100 € werden. Antwort: Nein, nur 1.100 / 1,10 = 1.000 €; die 100 € Differenz sind der Lohn fürs Warten.
Zwei Projekte kosten heute gleich viel und zahlen insgesamt denselben Betrag zurück, das eine früh, das andere spät. Welches hat den höheren Kapitalwert?
Du willst dein Geld erst nächstes Jahr ausgeben, deine Kommilitonin ihres sofort. Müsst ihr deshalb in unterschiedliche Projekte investieren, oder in dieselben?
Dein Fahrplan
So gehen wir vor
Die gesamte Finanzwirtschaft ruht auf einer verblüffend einfachen Idee. Eine ArbitrageArbitrage: ein sicherer Gewinn ohne Kapitaleinsatz und ohne Risiko, „geschenktes Geld“. Auf funktionierenden Märkten wird sie sofort ausgenutzt und verschwindet. ist ein sicherer Gewinn, für den man weder eigenes Geld einsetzt noch ein Risiko trägt. Solange es sie gibt, greifen Anleger blitzschnell zu und treiben die Preise so lange, bis die Chance verschwindet. Ein Markt ohne solche Gelegenheiten heißt arbitragefrei.
1
Arbitragefreiheit verstehen: warum gleiche Zahlungen überall gleich viel kosten.
2
Barwert (PV): eine einzelne, mehrere, oder unendlich viele, Zahlungen auf heute abzinsen.
3
Kapitalwert (NPV) berechnen und die Investitionsregel anwenden.
4
Fisher-Separation: Investieren und Konsumieren sauber trennen.
Abschnitt 1 von 4
Arbitragefreiheit und das Gesetz des einheitlichen Preises
Die gesamte Finanzwirtschaft ruht auf einer verblüffend einfachen Idee. Eine Arbitrage ist ein sicherer Gewinn, für den man weder eigenes Geld einsetzt noch ein Risiko trägt. Solange es sie gibt, greifen Anleger blitzschnell zu und treiben die Preise so lange, bis die Chance verschwindet. Ein Markt ohne solche Gelegenheiten heißt arbitragefrei.
Daraus folgt das Gesetz des einheitlichen Preises (Law of One Price): Zwei Anlagen mit identischen künftigen Zahlungen müssen heute gleich viel kosten. Sonst kaufte man die billige, verkaufte die teure, und hätte genau die verbotene Arbitrage. Für die Bewertung heißt das: Der faire Preis einer Zahlungsreihe ist der Preis der gleichwertigen Anlage am Kapitalmarkt, nicht mehr und nicht weniger.
Als Rechenrahmen dient dabei der vollkommene Kapitalmarkt: Alle können zum selben Einheitszins anlegen und Kredit aufnehmen, es gibt keine Steuern und Gebühren. Auf so einem Markt hat jede reine Geldanlage einen Kapitalwert von null, sie bringt exakt den Marktzins und keinen Cent darüber hinaus. Genau dieser Nullpunkt ist der Maßstab, an dem wir gleich echte Investitionen messen.
Abschnitt 2 von 4
Barwert: Was eine künftige Zahlung heute wert ist
Ein Euro morgen ist weniger wert als ein Euro heute, weil heutiges Geld in der Zwischenzeit Zinsen bringt. Den heutigen Wert einer künftigen Zahlung nennt man Barwert (PV). Man erhält ihn durch Diskontieren: Eine Zahlung C, die in t Jahren fließt, wird durch den Aufzinsungsfaktor geteilt.
PV = C / (1 + r)t
Der Zinssatz r ist der Vergleichsmaßstab, die Rendite einer gleich sicheren Alternativanlage am Kapitalmarkt. Fließen mehrere Zahlungen C1, C2, …, addiert man einfach ihre einzelnen Barwerte:
Ein Sonderfall taucht immer wieder auf: Zahlt eine Anlage für immer denselben Betrag C, spricht man von einer ewigen Rente. Ihr Barwert bleibt endlich, weil ferne Zahlungen kaum noch ins Gewicht fallen:
PVewig = C / r
Kleines Zahlenbeispiel: Eine ewige Rente von 60 € pro Jahr ist bei einem Marktzins von 5 % heute 60 / 0,05 = 1.200 € wert, endlich, obwohl sie nie endet. Wie man endliche Rentenreihen und ganze Anleihen bewertet, vertieft Kapitel 3.
Abschnitt 3 von 4
Kapitalwert und die Investitionsregel
Eine Investition kostet heute die Anschaffungsauszahlung A0 und wirft dafür künftige Einzahlungen E1, …, ET ab. Ihr Kapitalwert (NPV) ist der Barwert dieser Einzahlungen abzüglich der Auszahlung:
NPV = −A0 + ∑ Et / (1 + r)t
Die Investitionsregel ist damit denkbar einfach: Führe jedes Projekt mit positivem Kapitalwert durch. Ein NPV > 0 heißt, das Projekt schafft mehr Wert, als die gleich sichere Anlage am Kapitalmarkt bringen würde, und ist genau um diesen Betrag „besser als der Markt“. Als zweite Methode misst der interne Zinsfuß (IZF) die Rendite des Projekts selbst; man investiert, wenn sie über dem Marktzins liegt. Bei normalen Projekten stimmen beide Regeln überein, wechselt die Zahlungsreihe aber mehrfach das Vorzeichen, kann es mehrere interne Zinsfüße geben, weshalb der Kapitalwert die verlässlichere Größe ist. Die ausführliche IZF-Rechnung folgt in Kapitel 3.
Abschnitt 4 von 4
Fisher-Separation: Investieren und Konsumieren trennen
Bleibt eine letzte Frage: Muss, wer sein Geld heute ausgeben will, anders investieren als jemand, der auf morgen spart? Ohne Kapitalmarkt ja, dann lässt sich Konsum nur durch schlichte Geldaufbewahrung verschieben: Was du heute nicht ausgibst, bleibt einfach übrig (C1 = Vermögen − C0). Mit Kapitalmarkt wird jeder zurückgelegte Euro dagegen zu (1 + r) Euro morgen: Die Budgetgerade C1 = (Vermögen − C0) · (1 + r) kippt steiler, und lohnende Investitionsprojekte schieben sie zusätzlich nach außen (entlang der Transformationskurve der Projekte).
Genau das ist die Fisher-Separation: Auf einem vollkommenen Kapitalmarkt führt jeder zuerst alle Projekte mit positivem NPV durch, egal, wann er konsumieren will, und verschiebt seinen Konsum danach über Anlage oder Kredit dorthin, wo er ihn haben möchte. Investitions- und Konsumentscheidung sind separierbar. Der maximal mögliche Gegenwartskonsum ist dann:
C0max = Anfangsvermögen + ∑ NPV aller lohnenden Projekte
Im Lehrbeispiel: Wer 1.500 € Anfangsvermögen hat und unser Projekt (NPV = 33,06 €) durchführt, kann heute maximal 1.500 + 33,06 = 1.533,06 € konsumieren, das Projekt macht ihn genau um seinen Kapitalwert reicher, unabhängig von allen Konsumwünschen.
Kern-Erkenntnis: Ein einziger Gedanke trägt das ganze Kapitel, alles ist Barwert: künftige Zahlungen arbitragefrei auf heute abzinsen und aufaddieren; investiert wird, was einen positiven Kapitalwert hat. Darauf bauen alle folgenden Kapitel auf: Kapitel 2 wendet den Barwert-Gedanken auf Aktien an (Dividenden), Kapitel 3 auf Anleihen, Renten und die Zinsstruktur, und ab Kapitel 4 kommt mit riskanten Zahlungsströmen die Unsicherheit hinzu. Wer Arbitragefreiheit, Barwert, Kapitalwert und Fisher-Separation sicher beherrscht, hat das Fundament der ganzen Vorlesung gelegt.
Durchgerechnetes Lehrbeispiel
Lohnt sich diese Investition?
Ein Projekt kostet heute 1.000 € und zahlt in Jahr 1 500 € und in Jahr 2 700 € zurück. Der Marktzins beträgt 10 %. Solltest du es durchführen?
Schritt 4 · Investitionsregel anwenden
Der Kapitalwert ist positiv → durchführen. Das Projekt bringt 33,06 € mehr als eine gleich sichere Anlage zu 10 %.
Zur Kontrolle mit der zweiten Methode: Der interne Zinsfuß des Projekts liegt bei rund 12,3 % und damit über dem Marktzins von 10 %, dieselbe Aussage, nur als Rendite ausgedrückt.
Das Schaubild
Das Kapitalwert-Profil
Die Grafik zeigt das Kapitalwert-Profil unseres Lehrbeispiel-Projekts: Mit steigendem Marktzins fällt der Kapitalwert, beim internen Zinsfuß von rund 12,3 % schneidet er die Nulllinie.
Kapitalwert-Profil: Der NPV des Lehrbeispiel-Projekts fällt mit steigendem Marktzins und schneidet beim internen Zinsfuß von rund 12,3 Prozent die Nulllinie
Das bleibt hängen
Kern-Erkenntnis
Kern
Ein einziger Gedanke trägt das ganze Kapitel, alles ist Barwert: künftige Zahlungen arbitragefrei auf heute abzinsen und aufaddieren; investiert wird, was einen positiven Kapitalwert hat. Darauf bauen alle folgenden Kapitel auf: Kapitel 2 wendet den Barwert-Gedanken auf Aktien an (Dividenden), Kapitel 3 auf Anleihen, Renten und die Zinsstruktur, und ab Kapitel 4 kommt mit riskanten Zahlungsströmen die Unsicherheit hinzu. Wer Arbitragefreiheit, Barwert, Kapitalwert und Fisher-Separation sicher beherrscht, hat das Fundament der ganzen Vorlesung gelegt.
Häufige Fragen
Muss ich die Formeln (Barwert, Kapitalwert, ewige Rente) auswendig können?
In der Regel bekommst du die zentralen Formeln gestellt oder auf einem Formelblatt. Wichtiger ist, dass du sicher erkennst, welche Formel zu welcher Situation gehört, einmalige Zahlung, mehrere Perioden oder ewige Rente, und die Zahlen sauber einsetzt.
Wann nehme ich die Kapitalwert- und wann die interne-Zinsfuß-Regel?
Für reine Ja/Nein-Entscheidungen führen meist beide zum selben Ergebnis: Ein positiver Kapitalwert bedeutet in der Regel zugleich einen internen Zinsfuß über dem Marktzins. Sobald du aber Projekte vergleichst oder die Zahlungsreihe mehrfach das Vorzeichen wechselt, ist der Kapitalwert verlässlicher, er bleibt eindeutig, während es mehrere interne Zinsfüße geben kann. Die ausführliche IZF-Rechnung folgt in Kapitel 3.
Warum ist eine „ewige“ Rente nicht unendlich viel wert?
Weil jede spätere Zahlung stärker abgezinst wird, ihr Barwert schrumpft Jahr für Jahr. Die unendlich vielen, immer kleineren Barwerte summieren sich zu einem endlichen Betrag: bei konstanter Zahlung C meist einfach zu C / r.
Was bedeutet die Fisher-Separation ganz praktisch?
Dass du deine Investitions- von deiner Konsumentscheidung trennen darfst: Nimm zuerst jedes Projekt mit positivem Kapitalwert, das maximiert deinen heutigen Wert, und regle erst danach über den Kapitalmarkt, ob du heute oder später konsumierst. Auf einem vollkommenen Markt stören sich beide Entscheidungen in der Regel nicht.
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Kapitel 2 · Einstieg
Aktienbewertung
Stell dir vor, du willst eine kleine Mietwohnung kaufen und dauerhaft vermieten. Wie viel darfst du höchstens zahlen? Sicher nicht mehr, als die künftigen Mieten heute wert sind, jede einzelne abgezinst auf heute. Und wenn der Mietvertrag eine jährliche Steigerung von ein paar Prozent vorsieht, ist die Wohnung heute spürbar mehr wert als bei ewig gleicher Miete.
Eine Aktie funktioniert genauso: Sie ist ein Anspruch auf die künftigen Dividenden des Unternehmens, ihre „Mieten“. In diesem Kapitel machst du aus dieser Intuition präzise Formeln: erst für ein einzelnes Jahr, dann für alle künftigen Jahre (DDM), und am Ende für ewig wachsende Dividenden (Gordon-Growth).
Neugier-Fragen
Kurz erklärt, „Neugier-Fragen“: kleine Fragen, die du dir selbst stellst, um aktiv mitzudenken, nicht zum Googeln, sondern zum inneren Beantworten, während die Lektion läuft. So funktioniert’s, an einer Frage einmal vorgemacht (Frage, dann Denk-Schritt, dann Antwort, die du gleich prüfst):
Eine Aktie zahlt für immer 5 € Dividende pro Jahr, die Eigenkapitalkosten betragen 10 %. Was ist sie heute wert?
Denk-Schritt: Ein ewiger, konstanter Zahlungsstrom ist eine ewige Rente, Zahlung durch Zins teilen. Antwort: 5 / 0,10 = 50 €, trotz unendlich vieler Zahlungen ein endlicher Kurs.
Zwei Aktien zahlen nächstes Jahr dieselbe Dividende, aber die eine wächst danach ewig mit 2 %, die andere mit 4 %. Ist die zweite deshalb automatisch doppelt so viel wert?
Warum kann eine winzige Änderung der Wachstumsannahme, ein einziger Prozentpunkt, den fairen Kurs um 25 % oder mehr verschieben?
Dein Fahrplan
So gehen wir vor
Kaufst du heute eine Aktie zum Kurs P0, bekommst du in einem Jahr zweierlei: die
DividendeDividende: die Ausschüttung des Unternehmens an seine Aktionäre, im Dividendenmodell die Zahlung, aus der der Aktienkurs entsteht.
des Jahres und, falls du verkaufst, den dann gültigen Kurs P1. Beides ist unsicher, also rechnen wir
mit Erwartungswerten E[·]. Der faire Kurs heute ist der Barwert dieser beiden Größen, abgezinst mit den
EigenkapitalkostenEigenkapitalkosten rE: die von den Aktionären geforderte Rendite für gleich riskante Anlagen, der Diskontsatz der Aktienbewertung.
rE:
1
Die Aktie als Zahlungsstrom verstehen: das Ein-Perioden-Modell mit Dividende und Verkaufskurs.
2
Das Dividendendiskontierungsmodell (DDM): der Kurs als Barwert aller künftigen Dividenden.
3
Gordon-Growth: ewig wachsende Dividenden mit einer einzigen Formel bewerten.
4
Sensitivität und Grenzen: warum g < rE gelten muss, und was kleine Nenner anrichten.
Abschnitt 1 von 4
Die Aktie als Zahlungsstrom: das Ein-Perioden-Modell
Kaufst du heute eine Aktie zum Kurs P0, bekommst du in einem Jahr zweierlei: die
Dividende
des Jahres und, falls du verkaufst, den dann gültigen Kurs P1. Beides ist unsicher, also rechnen wir
mit Erwartungswerten E[·]. Der faire Kurs heute ist der Barwert dieser beiden Größen, abgezinst mit den
Eigenkapitalkosten
rE:
P0 = ( E[Div1] + E[P1] ) / (1 + rE)
Die Vorlesungsfolien schreiben dafür BK0 (Börsenkurs), die Lehrbücher (Welch, Berk/DeMarzo) nutzen P0;
gemeint ist dasselbe. Wichtig ist, was rE bedeutet. Die Vorlesung nennt vier Deutungen derselben Größe:
die von den Aktionären geforderte EK-Rendite (Investorensicht), der Alternativertragssatz, die
Opportunitätskosten
der Anleger, und aus Unternehmenssicht die EK-Kosten. Woher rE theoretisch kommt, klärt erst das
CAPM in Kapitel 6; hier ist es schlicht gegeben.
Merke (wörtlich von der Folie): „Kaufpreis = zukünftige Erträge / (1 + Zins)“.
Und: Wer zum fairen Kurs kauft, macht ein Null-NPV-Geschäft, NPV0 = 0 heißt auf der Folie
„richtige Bewertung“. Das ist derselbe Arbitrage-Gedanke wie in Kapitel 1.
Abschnitt 2 von 4
Vom einen Jahr zur Ewigkeit: das Dividendendiskontierungsmodell
Was ist P1? Für den Käufer von morgen gilt dieselbe Formel, P1 ist der Barwert aus Div2
und P2, und so weiter. Setzt man das Jahr für Jahr ineinander ein, kürzt sich der künftige Verkaufskurs
heraus, und übrig bleibt das
Dividendendiskontierungsmodell
(DDM): Der Kurs ist der Barwert aller künftigen Dividenden.
Der Fundamentalwert
einer Aktie ist also nichts Mystisches, sondern eine Barwert-Summe. Der einfachste Spezialfall: Das Unternehmen
schüttet für immer dieselbe Dividende aus. Dann ist die Aktie eine
ewige Rente
, auf der Folie der Fall „Ewigkeit“:
P0 = E[Div] / rE
Genau das war die vorgemachte Neugier-Frage vom Einstieg: 5 € für immer bei rE = 10 % sind
5 / 0,10 = 50 €, unendlich viele Zahlungen, endlicher Kurs, weil die späten Dividenden
immer stärker abgezinst werden.
Abschnitt 3 von 4
Gordon-Growth: ewig wachsende Dividenden
Realistischer als eine ewig konstante Dividende ist eine, die wächst, etwa weil Gewinne und
Ausschüttungen mit der Wirtschaft zulegen. Wächst die Dividende ewig mit der konstanten
Wachstumsrate
g, wird aus der ewigen Rente die ewige Rente mit Wachstum. Ihr Barwert ist das
Gordon-Growth-Modell
, auf der Folie der „Sonderfall“, in Klausuren der Dauerbrenner:
P0 = E[Div1] / (rE − g) mit g < rE
Im Zähler steht die Dividende des nächsten Jahres (Div1, nicht die zuletzt gezahlte!), im Nenner
der Abstand zwischen Diskontsatz und Wachstum. Das Wachstum wirkt wie ein Rabatt auf den Zins: Je näher g an
rE heranrückt, desto kleiner der Nenner, und desto größer der Kurs.
Abschnitt 4 von 4
Sensitivität und Grenzen: der Hebel des Nenners
Die Gordon-Formel ist einfach, aber ihr Nenner ist ein Hebel. Für unser Lehrbeispiel
(Div1 = 3,00 €) gilt:
Wachstum g (bei rE = 9 %)
3 %
4 %
5 %
Kurs P0
50,00 €
60,00 €
75,00 €
Eigenkapitalkosten rE (bei g = 4 %)
8 %
9 %
10 %
Kurs P0
75,00 €
60,00 €
50,00 €
Ein einziger Prozentpunkt mehr Wachstum (g: 4 % → 5 %) hebt den Kurs von 60 auf 75 €, +25 %,
weil der Kurs umgekehrt proportional zum Nenner rE − g ist (1/0,04 statt 1/0,05). Genauso drückt
ein Prozentpunkt mehr rE den Kurs von 60 auf 50 €. Die Grafik zeigt diesen Hebel: Je näher g an
rE rückt, desto steiler explodiert der Kurs.
Nützlich ist auch die Umstellung der Formel: Aus P0 = Div1 / (rE − g) wird
rE = Div1 / P0 + g
Die geforderte Eigenkapitalrendite ist
Dividendenrendite
plus Wachstumsrate, so liest man aus einem beobachteten Marktkurs die impliziten Eigenkapitalkosten ab
(auf der Folie: rE = E(D)/BK0 im Fall ohne Wachstum). Dieselbe Ewigkeits-Logik überträgt die
Vorlesung übrigens auf ganze Unternehmen: V0 = E(G)/rWACC, erwartete Gewinne statt Dividenden,
gewichteter Kapitalkostensatz statt rE.
Grenze 1: g < rE ist Pflicht
Für g ≥ rE divergiert die Barwert-Summe, der Nenner wird null oder negativ, die Formel liefert
Unsinn. Dauerhaft schneller als die Kapitalkosten wachsen kann kein Unternehmen.
Bei hohem Startwachstum: Phasen einzeln abzinsen, Gordon erst für die ruhige Endphase.
Grenze 2: kleine Fehler, große Wirkung
Nahe beieinander liegende rE und g machen den Nenner winzig, Schätzfehler von Zehntelprozentpunkten
verschieben den Kurs massiv.
Ergebnisse immer mit einer Sensitivitätsrechnung absichern.
Grenze 3: keine Dividende, kein DDM
Zahlt ein Unternehmen (noch) nichts aus, fehlt der Zähler. Dann bewertet man erwartete künftige
Ausschüttungen oder Gewinne/Cashflows.
Gordon ist ein Spezialfall, kein Universalwerkzeug.
Kern-Erkenntnis: Eine Aktie ist ein Barwert: erwartete Dividenden, abgezinst mit den
Eigenkapitalkosten rE. Konstante Dividende → ewige Rente E[Div]/rE; wachsende Dividende →
Gordon-Growth Div1/(rE − g), gültig nur für g < rE. Damit steht dieses Kapitel
genau zwischen seinen Nachbarn: Es wendet die Barwert-Logik aus Kapitel 1 auf das Eigenkapital an,
Kapitel 3 macht dasselbe mit den vertraglich fixierten Zahlungen von Anleihen, und woher rE
wirklich kommt, beantwortet das CAPM in Kapitel 6.
Durchgerechnetes Lehrbeispiel
die „Rheinland Kaffeerösterei AG“
Für die Aktie der Rheinland Kaffeerösterei AG erwartet man nächstes Jahr 3,00 € Dividende,
die danach ewig mit g = 4 % pro Jahr wächst. Die Eigenkapitalkosten betragen rE = 9 %.
Was ist die Aktie heute wert?
Die Wachstumserwartung allein ist hier also 60,00 − 33,33 = 26,67 € des Kurses wert –
fast die Hälfte des Preises steckt im künftigen Wachstum, nicht in der heutigen Dividende.
Schritt 3 · Konsistenz-Check mit dem Ein-Perioden-Modell
Im Gordon-Modell wächst auch der Kurs
selbst mit g, also E[P1] = 60,00 · 1,04 = 62,40 €. Eingesetzt:
Schritt 4 · Warum bleibt die unendliche Summe endlich?
Die Dividenden wachsen zwar (Zähler +4 % p. a.),
werden aber stärker abgezinst (Nenner +9 % p. a.), die Barwerte schrumpfen Jahr für Jahr:
Jahr t
1
2
3
…
10
…
30
Dividende (€)
3,00
3,12
3,24
…
4,27
…
9,36
Barwert (€)
2,75
2,63
2,51
…
1,80
…
0,71
Die Summe aller dieser Barwerte konvergiert exakt gegen die 60,00 € aus Schritt 2 –
das ist die Gordon-Formel in Zeitlupe.
Das Schaubild
Der Hebel des Nenners im Bild
Ein einziger Prozentpunkt mehr Wachstum (g: 4 % → 5 %) hebt den Kurs von 60 auf 75 €, +25 %,
weil der Kurs umgekehrt proportional zum Nenner rE − g ist (1/0,04 statt 1/0,05). Genauso drückt
ein Prozentpunkt mehr rE den Kurs von 60 auf 50 €. Die Grafik zeigt diesen Hebel: Je näher g an
rE rückt, desto steiler explodiert der Kurs.
Gordon-Growth-Sensitivität: Kurs P0 = 3 Euro Dividende geteilt durch (Eigenkapitalkosten minus Wachstumsrate g); Kurve für Eigenkapitalkosten 9 Prozent mit Lehrbeispiel-Punkt bei g gleich 4 Prozent und 60 Euro sowie Vergleichskurve für 11 Prozent
Aha-Moment zum Anfassen
Schieb das Wachstum
Start wie im Lehrbeispiel: Dividende D₁ = 3,00 €, Eigenkapitalkosten rE = 9 %. Schieb die Wachstumsrate g und beobachte den Nenner rE − g: Je näher g an rE rückt, desto gewaltiger wird der Kurs.
Aha-Moment
Der Nenner ist der Hebel
g = 4,0 % · Nenner rₑ − g = 5,0 %
60,00 €
Gordon-Growth-Kurs P₀ = D₁ / (rₑ − g)
P₀
Wachstumsrate g0,0 bis 8,0 %
Das bleibt hängen
Kern-Erkenntnis
Kern
Eine Aktie ist ein Barwert: erwartete Dividenden, abgezinst mit den
Eigenkapitalkosten rE. Konstante Dividende → ewige Rente E[Div]/rE; wachsende Dividende →
Gordon-Growth Div1/(rE − g), gültig nur für g < rE. Damit steht dieses Kapitel
genau zwischen seinen Nachbarn: Es wendet die Barwert-Logik aus Kapitel 1 auf das Eigenkapital an,
Kapitel 3 macht dasselbe mit den vertraglich fixierten Zahlungen von Anleihen, und woher rE
wirklich kommt, beantwortet das CAPM in Kapitel 6.
Häufige Fragen
Muss ich die Gordon-Formel in der Klausur herleiten können?
In der Regel genügt es, die Formel sicher anzuwenden und die Bedingung g < rE zu kennen. Die Herleitung über die ewige Rente zu verstehen lohnt sich trotzdem, sie schützt vor dem häufigsten Fehler, im Zähler die zuletzt gezahlte statt der nächsten Dividende (Div1) einzusetzen.
Was mache ich, wenn g größer oder gleich rE ist?
Dann ist die Gordon-Formel nicht anwendbar, die Barwert-Summe konvergiert nicht. Meist rechnet man dann zweistufig: die Jahre mit hohem Wachstum einzeln abzinsen und erst für die ruhige Endphase die Gordon-Formel als Endwert ansetzen. In Klausuraufgaben ist in aller Regel g < rE gegeben.
Woher bekomme ich rE und g in einer Klausuraufgabe?
Meist stehen beide Werte in der Aufgabe. Umgekehrt kannst du aus einem beobachteten Kurs die impliziten Eigenkapitalkosten bestimmen: rE = Div1/P0 + g (Dividendenrendite plus Wachstum). Wie rE theoretisch aus dem Marktrisiko folgt, zeigt das CAPM in Kapitel 6.
Funktioniert das Dividendenmodell auch bei Aktien ohne Dividende?
Nicht direkt, ohne erwartete Ausschüttungen fehlt der Zähler. Meist bewertet man solche Unternehmen über die später erwarteten Ausschüttungen, sobald sie beginnen, oder überträgt die Logik auf Gewinne bzw. Cashflows, wie in der Unternehmensbewertung V0 = E(G)/rWACC.
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Kapitel 3 · Einstieg
Anleihen, Renten & Zinsstruktur
Stell dir vor, du gewinnst im Lotto und darfst wählen: 100.000 € sofort auf einen Schlag, oder 20 Jahre lang jedes Jahr 6.000 €. Die Ratenvariante klingt nach mehr (20 × 6.000 = 120.000 €), trotzdem ist sie nicht automatisch das bessere Angebot. Denn Geld, das erst in vielen Jahren fließt, ist heute weniger wert, Zinsen arbeiten in der Zwischenzeit.
Genau dieselbe Frage steckt hinter jeder Anleihe: Der Staat oder ein Unternehmen leiht sich dein Geld, zahlt dafür Jahr für Jahr einen festen Kupon und gibt am Ende den Nennbetrag zurück. Was diese künftigen Zahlungen heute wert sind, und welche Rendite du damit erzielst, rechnest du in diesem Kapitel sauber aus.
Neugier-Fragen
Kurz erklärt, „Neugier-Fragen“: kleine Fragen, die du dir selbst stellst, um aktiv mitzudenken, nicht zum Googeln, sondern zum inneren Beantworten, während die Lektion läuft. So funktioniert’s, an einer Frage einmal vorgemacht (Frage, dann Denk-Schritt, dann Antwort, die du gleich prüfst):
Eine ewige Rente zahlt jedes Jahr 50 €, für immer. Ist sie damit unendlich viel wert?
Denk-Schritt: Jede spätere Zahlung wird stärker abgezinst, die Barwerte schrumpfen also immer weiter. Antwort: Nein, die Summe bleibt endlich: bei 10 % Zins sind es 50 / 0,10 = 500 €.
Eine Kuponanleihe notiert unter pari (unter 100 %). Ist ihr Kupon dann höher oder niedriger als der aktuelle Marktzins?
Warum kann dieselbe Anleihe zwei verschiedene „Zinssätze“ tragen, den Kupon und die Effektivrendite, und wann sind beide gleich?
Dein Fahrplan
So gehen wir vor
Alles in diesem Kapitel beruht auf einem einzigen Gedanken: Ein Euro morgen ist weniger wert als ein Euro heute, weil Geld in der Zwischenzeit Zinsen bringt. Den heutigen Wert einer künftigen Zahlung nennt man BarwertBarwert (Present Value, PV): der auf heute abgezinste Wert einer künftigen Zahlung, die Grundgröße jeder Bewertung. (PV). Man erhält ihn durch DiskontierenDiskontieren (Abzinsen): eine künftige Zahlung durch (1+r) hoch t teilen, um ihren heutigen Wert zu bestimmen., die Zahlung C, die in t Jahren fließt, wird durch den Aufzinsungsfaktor geteilt:
1
Einen einzelnen sicheren Zahlungsstrom auf heute abzinsen (Barwert).
2
Gleichbleibende Zahlungen bündeln: Rentenbarwert (Annuität) und ewige Rente.
3
Eine Anleihe bewerten, als Summe aus Nullkupon-Baustein und Kupon-Rente.
4
Die Zinsstruktur lesen und die Effektivrendite (IRR) bestimmen.
Abschnitt 1 von 4
Barwert: Was eine künftige Zahlung heute wert ist
Alles in diesem Kapitel beruht auf einem einzigen Gedanken: Ein Euro morgen ist weniger wert als ein Euro heute, weil Geld in der Zwischenzeit Zinsen bringt. Den heutigen Wert einer künftigen Zahlung nennt man Barwert (PV). Man erhält ihn durch Diskontieren, die Zahlung C, die in t Jahren fließt, wird durch den Aufzinsungsfaktor geteilt:
PV = C / (1 + r)t
Fließen mehrere Zahlungen, addiert man einfach ihre Barwerte. Der Marktzins r ist dabei der Vergleichsmaßstab: die Rendite, die dein Geld in einer gleich sicheren Alternativanlage bringen würde.
Abschnitt 2 von 4
Renten: gleichbleibende Zahlungen bündeln
Viele Zahlungsreihen bestehen aus gleich hohen Beträgen, eine Miete, eine Kreditrate, ein Anleihe-Kupon. Dafür gibt es Abkürzungen. Eine Annuität zahlt T Jahre lang den festen Betrag C. Ihr Rentenbarwert ist:
PV = (C / r) · (1 − (1 + r)−T)
Läuft die Zahlung dagegen für immer, spricht man von einer ewigen Rente. Erstaunlicherweise bleibt ihr Barwert endlich, weil die späten Zahlungen kaum noch ins Gewicht fallen:
PVewig = C / r
Abschnitt 3 von 4
Anleihen: Nullkupon plus Kupon-Rente
Eine Anleihe ist nichts anderes als eine bekannte Zahlungsreihe, die du mit denselben Werkzeugen bewertest, sie ist Fremdkapital, der Käufer leiht Geld. Zwei Bausteine genügen. Eine Nullkuponanleihe zahlt nur am Ende ihren Nominalwert (Nennwert) zurück; ihr Kurs ist ein einziger Barwert. Eine Kuponanleihe zahlt zusätzlich jedes Jahr einen Kupon. Ihr Kurs ist die Summe aus der Kupon-Annuität und dem Barwert des Nominals.
Abschnitt 4 von 4
Zinsstruktur und Effektivrendite
Bisher galt ein einheitlicher Zins. In Wirklichkeit hängt der Zins von der Laufzeit ab: Die Zinsstrukturkurve zeigt für jede Laufzeit den passenden Kassazins. Dann diskontiert man jede Zahlung mit dem Zins ihrer eigenen Laufzeit. Meist steigt die Kurve (normal); liegen die kurzen Zinsen über den langen, ist sie invers.
Umgekehrt fragt man oft: Welche Rendite bringt eine Anleihe, deren Kurs ich kenne? Das ist die Effektivrendite, der interne Zinsfuß (IRR), also der Zins, bei dem Barwert und Kurs übereinstimmen. Vorsicht: Bei Zahlungsreihen mit mehrfachem Vorzeichenwechsel kann es mehrere interne Zinsfüße geben, dann ist die Kapitalwert-(NPV-)Regel verlässlicher.
Die Grafik zeigt drei typische Formen der Zinsstrukturkurve: normal (steigend), flach und invers (fallend).
Kern-Erkenntnis: Ob Rente oder Anleihe, jede Bewertung ist im Kern Diskontieren: künftige Zahlungen auf heute abzinsen und aufaddieren. Das baut direkt auf Kapitel 1 (Barwert & Arbitrage) auf und ist das Fundament für Kapitel 4, wo derselbe Barwert-Gedanke auf riskante Zahlungsströme erweitert wird, mit Wahrscheinlichkeiten und einer Risikoprämie. Wer Barwert, Annuität, ewige Rente und Effektivrendite sicher trennt, hat den halben Klausurteil schon gelöst.
Durchgerechnetes Lehrbeispiel
eine 3-jährige Kuponanleihe
Eine Anleihe hat einen Nominalwert von 1.000 €, zahlt 3 Jahre lang einen jährlichen Kupon von 4 % (also 40 €) und wird am Ende zurückgezahlt. Der Marktzins beträgt 5 %. Was ist sie heute wert?
Der Kurs liegt unter pari (unter 1.000 €), weil der Kupon (4 %) niedriger ist als der Marktzins (5 %), Anleger verlangen einen Preisabschlag. Zum Vergleich: Eine ewige Rente von 40 € wäre 40 / 0,05 = 800 € wert.
Das Schaubild
Die Zinsstrukturkurve
Die Grafik zeigt drei typische Formen der Zinsstrukturkurve: normal (steigend), flach und invers (fallend).
Zinsstrukturkurve: normale steigende, flache und inverse fallende Kurve über die Laufzeit
Aha-Moment zum Anfassen
Schieb den Marktzins
Start wie im Lehrbeispiel: 3-jährige Anleihe, Nominal 1.000 €, Kupon 4 % (40 € pro Jahr). Schieb den Marktzins und schau, wie der Kurs kippt: Bei r = 4 % steht die Anleihe exakt pari, darüber fällt sie darunter.
Aha-Moment
Die Kurs-Zins-Wippe
Marktzins r = 5,00 %
972,77 €
Kurs der Anleihe, unter pari
Kurs
pari
Marktzins r1,00 bis 9,00 %
Das bleibt hängen
Kern-Erkenntnis
Kern
Ob Rente oder Anleihe, jede Bewertung ist im Kern Diskontieren: künftige Zahlungen auf heute abzinsen und aufaddieren. Das baut direkt auf Kapitel 1 (Barwert & Arbitrage) auf und ist das Fundament für Kapitel 4, wo derselbe Barwert-Gedanke auf riskante Zahlungsströme erweitert wird, mit Wahrscheinlichkeiten und einer Risikoprämie. Wer Barwert, Annuität, ewige Rente und Effektivrendite sicher trennt, hat den halben Klausurteil schon gelöst.
Häufige Fragen
Muss ich die Annuitäten- und Rentenformeln in der Klausur auswendig können?
In der Regel bekommst du die zentralen Formeln (Barwert, Annuität, ewige Rente) gestellt oder auf einem Formelblatt. Wichtiger ist, dass du sicher entscheidest, welche Formel zu welcher Zahlungsreihe gehört, und die Zahlen sauber einsetzt.
Woran erkenne ich, ob eine Anleihe über oder unter pari notiert?
Vergleiche Kuponsatz und Marktzins: Liegt der Kupon über dem Marktzins, ist die Anleihe attraktiv und notiert meist über pari (über 100 %); liegt er darunter, notiert sie unter pari. Steht der Kupon genau auf Höhe des Marktzinses, liegt der Kurs in der Regel bei pari.
Was ist der Unterschied zwischen Kupon und Rendite?
Der Kupon ist die feste vertragliche Zinszahlung, bezogen auf den Nominalwert. Die Effektivrendite (IRR) berücksichtigt zusätzlich, zu welchem Kurs du kaufst und was du am Ende zurückbekommst. Nur wenn der Kurs genau bei pari liegt, stimmen Kupon und Rendite meist überein.
Rechne ich mit einem einheitlichen Zins oder mit der Zinsstruktur?
Für den Einstieg und viele Klausuraufgaben genügt ein einheitlicher Marktzins. Sobald aber unterschiedliche Zinssätze je Laufzeit vorgegeben sind (Zinsstruktur), diskontierst du jede Zahlung mit dem passenden Kassazins ihrer Laufzeit, das ist die genauere Bewertung.
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Kapitel 4 · Einstieg
Risiko & riskante Zahlungsströme
Stell dir vor, ein Freund bietet dir zwei Wetten an. Bei der ersten bekommst du ganz sicher 100 €. Bei der zweiten wirft er eine Münze: Kopf bringt dir 200 €, Zahl bringt dir 0 €. Im Schnitt zahlen beide Wetten dasselbe aus, 100 €. Trotzdem greifen die meisten Menschen zur sicheren Variante. Der Grund: Die zweite Wette ist riskant, und für dieses Risiko wollen wir normalerweise entschädigt werden.
Genau darum geht es in diesem Kapitel. Sobald eine künftige Zahlung nicht mehr feststeht, brauchst du zwei neue Werkzeuge: den Erwartungswert, der die möglichen Ausgänge nach ihrer Wahrscheinlichkeit mittelt, und ein Risikomaß, das erfasst, wie stark die Zahlung schwanken kann. Und weil wir Risiko nicht mögen, verlangen wir für riskante Zahlungen eine Risikoprämie, wir zinsen sie stärker ab als sichere.
Neugier-Fragen
Kurz erklärt, „Neugier-Fragen“: kleine Fragen, die du dir selbst stellst, um aktiv mitzudenken, nicht zum Googeln, sondern zum inneren Beantworten, während die Lektion läuft. So funktioniert’s, an einer Frage einmal vorgemacht (Frage, dann Denk-Schritt, dann Antwort, die du gleich prüfst):
Zwei Aktien haben dieselbe erwartete Rendite von 6 %, doch Aktie A schwankt viel stärker als Aktie B. Welche wählt ein vorsichtiger Anleger?
Denk-Schritt: Bei gleichem erwartetem Ertrag zählt nur noch das Risiko, und weniger Schwankung ist angenehmer. Antwort: Er nimmt Aktie B, denn bei gleicher erwarteter Rendite ist die geringere Streuung die bessere Wahl.
Eine sichere Zahlung von 105 € und eine riskante Zahlung mit Erwartungswert 105 € liegen beide in einem Jahr. Welche ist heute mehr wert?
Warum sinkt der heutige Wert einer künftigen Zahlung, wenn Anleger eine höhere Risikoprämie verlangen, obwohl sich an der erwarteten Zahlung selbst nichts ändert?
Dein Fahrplan
So gehen wir vor
Bei einer sicheren Anlage steht die Rendite fest. Bei einer Aktie nicht: Wie sie sich entwickelt, hängt davon ab, welcher künftige UmweltzustandUmweltzustand: ein möglicher Zukunftszustand der Welt (z. B. Boom, Normal, Rezession), dem eine Rendite und eine Eintrittswahrscheinlichkeit zugeordnet werden. eintritt, etwa Boom, Normallage oder Rezession. Jedem Zustand i ordnest du eine Rendite ri und eine Wahrscheinlichkeit pi zu. Die Wahrscheinlichkeiten sind nie negativ und ergeben zusammen genau 1 (100 %), irgendein Zustand tritt sicher ein.
1
Aus Zuständen und Wahrscheinlichkeiten die erwartete Rendite E(r) bilden.
2
Das Risiko über Varianz und Standardabweichung messen.
3
Risikoaversion verstehen und riskante Zahlungen mit einer Risikoprämie abzinsen.
4
Kovarianz und Korrelation als Brücke zur Portfoliobildung kennenlernen.
Abschnitt 1 von 4
Zustände, Wahrscheinlichkeiten und der Erwartungswert
Bei einer sicheren Anlage steht die Rendite fest. Bei einer Aktie nicht: Wie sie sich entwickelt, hängt davon ab, welcher künftige Umweltzustand eintritt, etwa Boom, Normallage oder Rezession. Jedem Zustand i ordnest du eine Rendite ri und eine Wahrscheinlichkeit pi zu. Die Wahrscheinlichkeiten sind nie negativ und ergeben zusammen genau 1 (100 %), irgendein Zustand tritt sicher ein.
Um die vielen möglichen Renditen auf eine Kennzahl zu verdichten, bildet man den Erwartungswert E(r) = μ. Er gewichtet jede mögliche Rendite mit ihrer Wahrscheinlichkeit:
E(r) = μ = ∑i pi · ri
Der Erwartungswert allein sagt aber nichts darüber, wie unsicher die Rendite ist. Zwei Anlagen können dieselbe erwartete Rendite haben und trotzdem völlig unterschiedlich stark schwanken. Genau diese Schwankung misst der nächste Schritt.
Abschnitt 2 von 4
Varianz und Standardabweichung: das Risiko messen
Das Risiko einer Rendite ist ihre Streuung um den Erwartungswert. Man misst sie mit der Varianz Var(r) = σ2, dem wahrscheinlichkeitsgewichteten Durchschnitt der quadrierten Abweichungen vom Erwartungswert:
Var(r) = σ2 = ∑i pi · (ri − μ)2
Weil die Varianz in „Prozent zum Quadrat" rechnet, zieht man am Ende die Wurzel und erhält die Standardabweichung σ = √Var(r). Sie hat dieselbe Einheit wie die Rendite und ist damit direkt interpretierbar, deshalb ist σ das gebräuchlichste Risikomaß.
Abschnitt 3 von 4
Risikoaversion, Risikoprämie und Diskontierung unter Unsicherheit
Warum ist das Risiko überhaupt wichtig? Weil fast alle Anleger risikoavers sind: Sie tragen zusätzliches Risiko nur, wenn sie dafür mit zusätzlicher erwarteter Rendite entschädigt werden. Bei gleicher erwarteter Rendite wählen sie stets die Anlage mit der geringeren Streuung. Diesen Renditeaufschlag fürs Risikotragen nennt man Risikoprämie. Formal ist sie der Abstand zwischen der geforderten Rendite einer riskanten Anlage und dem risikolosen Zins rf:
Risikoprämie = r − rf
Das ändert auch, wie man riskante Zahlungen bewertet. Aus Kapitel 3 kennst du die Diskontierung sicherer Zahlungen. Bei der Diskontierung unter Unsicherheit zinst du die erwartete Zahlung E[C] mit einem um die Risikoprämie erhöhten Zins ab:
Barwert = E[C] / (1 + rf + Risikoprämie)
Ein Zahlenbeispiel: Ein Projekt zahlt in einem Jahr erwartet 110 €. Der risikolose Zins beträgt rf = 3 %, die geforderte Risikoprämie 7 %, zusammen ein risikoangepasster Zins von 10 %:
Wäre dieselbe Zahlung sicher, wäre sie 110 / 1,03 ≈ 106,80 € wert. Die Differenz von rund 6,80 € ist der Preis, den die Anleger fürs Risiko abziehen, der Risikoabschlag. Genau deshalb sinkt der heutige Wert, sobald die Anleger eine höhere Risikoprämie verlangen, auch wenn sich an der erwarteten Zahlung nichts ändert.
Die Grafik zeigt die Rendite-Risiko-Ebene: Auf der Hochachse steht die erwartete Rendite μ = E(r), auf der Querachse das Risiko σ. Die risikolose Anlage liegt bei σ = 0 auf Höhe rf; der Abstand einer riskanten Anlage nach oben ist ihre Risikoprämie. Die Indifferenzkurven eines stark bzw. schwach risikoaversen Investors steigen an, für mehr Risiko wird mehr Rendite verlangt.
Abschnitt 4 von 4
Kovarianz und Korrelation: die Brücke zum Portfolio
Bisher haben wir eine Anlage betrachtet. Sobald du mehrere kombinierst, kommt es darauf an, wie ihre Renditen zusammen schwanken. Die Kovarianz Cov(A, B) misst die Richtung dieses gemeinsamen Schwankens: Ist sie positiv, bewegen sich die beiden Renditen tendenziell in dieselbe Richtung; ist sie negativ, laufen sie gegenläufig.
Cov(A, B) = σAB = ∑i pi · (riA − μA) · (riB − μB)
Die Kovarianz hängt aber von den Einheiten ab und ist schwer zu deuten. Deshalb normiert man sie mit den beiden Standardabweichungen zum Korrelationskoeffizienten ρAB, der immer zwischen −1 und +1 liegt und so verschiedene Aktienpaare vergleichbar macht:
ρAB = σAB / (σA · σB), mit −1 ≤ ρAB ≤ +1
Warum das wichtig wird: Je geringer die Korrelation zweier Anlagen, desto stärker gleichen sich ihre Schwankungen im Verbund aus, das Gesamtrisiko sinkt. Diese Risikodiversifikation ist der Kern des nächsten Kapitels. Hier reicht es, Kovarianz und Korrelation als Werkzeuge zu kennen; die eigentliche Portfoliorechnung folgt in Kapitel 5.
Kern-Erkenntnis: Unter Unsicherheit beschreibst du eine Anlage mit zwei Zahlen: der erwarteten Rendite μ = E(r) als „im Schnitt" und der Standardabweichung σ als Maß fürs Risiko. Weil Anleger risikoavers sind, verlangen sie für Risiko eine Risikoprämie und zinsen riskante Zahlungen entsprechend stärker ab. Das baut direkt auf der Diskontierung aus Kapitel 3 auf und liefert die Bausteine für Kapitel 5 (Portfolio & Diversifikation) und Kapitel 6 (CAPM): Dort werden aus μ, σ und der Korrelation ganze Portfolios optimiert und das Marktrisiko über Beta bepreist. Wer E(r), Varianz und Risikoprämie sicher trennt, hat das Fundament des ganzen Risikoteils gelegt.
Durchgerechnetes Lehrbeispiel
die Aktie „Nordwind"
Für die Aktie Nordwind erwartest du im nächsten Jahr drei Umweltzustände. Wie hoch sind erwartete Rendite und Risiko?
Schritt 3 · Standardabweichung
(Wurzel der Varianz):
σ = √60 ≈ 7,75 %
Nordwind bringt im Schnitt 5 % Rendite, schwankt dabei aber mit rund 7,75 Prozentpunkten. Der Zustand „Normal" trägt nichts zur Varianz bei, weil seine Rendite genau dem Erwartungswert entspricht, nur Abweichungen erzeugen Risiko.
Das Schaubild
Die Rendite-Risiko-Ebene
Die Grafik zeigt die Rendite-Risiko-Ebene: Auf der Hochachse steht die erwartete Rendite μ = E(r), auf der Querachse das Risiko σ. Die risikolose Anlage liegt bei σ = 0 auf Höhe rf; der Abstand einer riskanten Anlage nach oben ist ihre Risikoprämie. Die Indifferenzkurven eines stark bzw. schwach risikoaversen Investors steigen an, für mehr Risiko wird mehr Rendite verlangt.
Rendite-Risiko-Ebene: erwartete Rendite über Risiko, mit risikoloser Anlage, Risikoprämie und Indifferenzkurven eines stark und eines schwach risikoaversen Investors
Das bleibt hängen
Kern-Erkenntnis
Kern
Unter Unsicherheit beschreibst du eine Anlage mit zwei Zahlen: der erwarteten Rendite μ = E(r) als „im Schnitt" und der Standardabweichung σ als Maß fürs Risiko. Weil Anleger risikoavers sind, verlangen sie für Risiko eine Risikoprämie und zinsen riskante Zahlungen entsprechend stärker ab. Das baut direkt auf der Diskontierung aus Kapitel 3 auf und liefert die Bausteine für Kapitel 5 (Portfolio & Diversifikation) und Kapitel 6 (CAPM): Dort werden aus μ, σ und der Korrelation ganze Portfolios optimiert und das Marktrisiko über Beta bepreist. Wer E(r), Varianz und Risikoprämie sicher trennt, hat das Fundament des ganzen Risikoteils gelegt.
Häufige Fragen
Warum quadriert man bei der Varianz die Abweichungen überhaupt?
Ohne das Quadrat würden sich positive und negative Abweichungen vom Erwartungswert im Schnitt gerade aufheben, das Ergebnis wäre in der Regel null und damit nutzlos. Das Quadrat macht alle Abweichungen positiv und gewichtet große Ausschläge zusätzlich stärker. Am Ende zieht man die Wurzel (Standardabweichung), um wieder in der Einheit der Rendite zu landen.
Ist eine höhere erwartete Rendite immer die bessere Wahl?
Meist nicht ohne Blick auf das Risiko. Zwei Anlagen mit gleicher erwarteter Rendite unterscheiden sich oft deutlich in ihrer Schwankung; ein risikoaverser Investor bevorzugt dann die risikoärmere. Erst das Paar aus erwarteter Rendite und Standardabweichung erlaubt in der Regel ein sinnvolles Urteil.
Woher kommt die Höhe der Risikoprämie in einer Aufgabe?
In Klausuraufgaben ist die Risikoprämie (oder direkt die geforderte Rendite) meist vorgegeben. Inhaltlich hängt sie davon ab, wie viel Risiko eine Anlage trägt und wie risikoscheu die Anleger sind. Wie genau das Marktrisiko in eine Prämie übersetzt wird, klärt später das CAPM, hier genügt es, mit der gegebenen Prämie sauber zu rechnen.
Was sagt mir das Vorzeichen einer Kovarianz oder Korrelation?
Das Vorzeichen zeigt die Richtung des Zusammenhangs: positiv bedeutet, dass die beiden Renditen tendenziell gemeinsam steigen und fallen, negativ heißt gegenläufig. Die Korrelation liegt dabei immer zwischen −1 und +1 und macht das Ausmaß zwischen verschiedenen Aktienpaaren vergleichbar. Wie man daraus das Portfoliorisiko senkt, ist Thema von Kapitel 5.
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Kapitel 5 · Einstieg
Portfoliotheorie & Diversifikation
Stell dir vor, du wettest auf zwei Strandbuden: Die eine verkauft Eis, die andere Regenschirme. Steckst du dein ganzes Geld in die Eisbude, verdienst du bei Sonne prächtig, und bei Dauerregen fast nichts. Verteilst du es auf beide, ist dein Ertrag bei jedem Wetter ähnlich: Was die eine verliert, macht die andere wett. Deine durchschnittliche Erwartung bleibt fast gleich, aber dein Risiko sinkt deutlich.
Genau das ist Diversifikation. An der Börse mischst du Wertpapiere, die nicht im Gleichschritt laufen. Wie stark sich ihre Schwankungen ausgleichen, misst die Korrelation. In diesem Kapitel rechnest du Erwartungswert und Risiko eines Portfolios sauber aus, und siehst, warum es einen „besten“ Mix gibt.
Neugier-Fragen
Kurz erklärt, „Neugier-Fragen“: kleine Fragen, die du dir selbst stellst, um aktiv mitzudenken, nicht zum Googeln, sondern zum inneren Beantworten, während die Lektion läuft. So funktioniert’s, an einer Frage einmal vorgemacht (Frage, dann Denk-Schritt, dann Antwort, die du gleich prüfst):
Zwei Aktien schwanken je um 20 %. Kann ein 50:50-Portfolio aus beiden weniger als 20 % schwanken?
Denk-Schritt: Solange sie nicht perfekt gleichlaufen (ρ < +1), gleichen sich Ausschläge teilweise aus. Antwort: Ja, bei ρ < +1 liegt das Portfoliorisiko unter dem gewichteten Durchschnitt der Einzelrisiken.
Wenn du eine dritte Aktie mit sehr hohem Einzelrisiko beimischst, kann das Gesamtrisiko des Portfolios trotzdem sinken?
Warum wählen am Ende alle Anleger dasselbe riskante Portfolio, obwohl sie unterschiedlich risikoscheu sind?
Dein Fahrplan
So gehen wir vor
In Kapitel 4 hast du Erwartungswert und Varianz einer einzelnen Anlage kennengelernt, das greifen wir hier nur kurz auf. Jetzt kombinierst du mehrere Titel zu einem PortfolioPortfolio: eine gewichtete Zusammenstellung mehrerer Anlagen. Die Gewichte x geben an, welcher Anteil des Vermögens in welchem Titel steckt und summieren sich zu 1.. Der Clou: Das Risiko der Mischung ist kleiner als der Durchschnitt der Einzelrisiken, das ist die DiversifikationDiversifikation: Streuen des Vermögens über mehrere Anlagen. Weil sich Schwankungen teilweise ausgleichen, sinkt das Gesamtrisiko, ohne dass die erwartete Rendite leidet..
1
Verstehen, wie Korrelation und Kovarianz die Diversifikation steuern.
2
Erwartungswert und Varianz eines Portfolios im 2-Anlagen-Fall berechnen.
3
Den Effizienzrand lesen, vom Minimum-Varianz- bis zum Tangentialportfolio.
4
Systematisches vom unsystematischen Risiko trennen.
Abschnitt 1 von 4
Diversifikation: warum die Korrelation entscheidet
In Kapitel 4 hast du Erwartungswert und Varianz einer einzelnen Anlage kennengelernt, das greifen wir hier nur kurz auf. Jetzt kombinierst du mehrere Titel zu einem Portfolio. Der Clou: Das Risiko der Mischung ist kleiner als der Durchschnitt der Einzelrisiken, das ist die Diversifikation.
Wie stark sich die Schwankungen ausgleichen, hängt davon ab, wie die Renditen zusammenlaufen. Das misst die Kovarianz σAB und, handlicher, weil normiert, der Korrelationskoeffizient ρAB:
ρAB = σAB / (σA · σB) mit −1 ≤ ρAB ≤ +1
Umgestellt liefert das die Kovarianz, die du gleich brauchst: σAB = ρAB · σA · σB. Merke: Je kleiner ρ, desto größer der Diversifikationsvorteil. Bei ρ = +1 laufen beide Titel im Gleichschritt, dann gibt es gar keinen Vorteil; bei ρ = −1 ließe sich das Risiko theoretisch bis auf null senken (in der Praxis unrealistisch).
Abschnitt 2 von 4
Erwartungswert und Varianz eines Portfolios
Wir betrachten den klausurtypischen 2-Anlagen-Fall: Aktie A und Aktie B mit den Gewichten xA und xB = 1 − xA. Die erwartete Portfoliorendite μPF ist einfach der mit den Gewichten gebildete Durchschnitt der erwarteten Einzelrenditen, ohne Korrelationsterm:
μPF = xA · μA + xB · μB
Beim Risiko wird es interessant. Die Portfoliovarianz σPF2 ist nicht der gewichtete Durchschnitt der Einzelvarianzen, sondern enthält als dritten, entscheidenden Baustein einen Kovarianzterm:
Genau dieser Kovarianzterm (er enthält ρAB) drückt das Portfoliorisiko nach unten, sobald die Titel nicht perfekt gleichlaufen. Die Standardabweichung ist dann σPF = √(σPF2).
Abschnitt 3 von 4
Der Effizienzrand: Minimum-Varianz- und Tangentialportfolio
Variierst du die Gewichte x, durchläuft das Portfolio im μ-σ-Diagramm eine gekrümmte Kurve. Der Punkt ganz links, das geringste erreichbare Risiko, heißt Minimum-Varianz-Portfolio (MVP). Alle Mischungen oberhalb des MVP bilden den Effizienzrand: Zu jedem Risiko bieten sie die höchste erwartete Rendite. Alles darunter ist ineffizient, dominiert von einem besseren Portfolio.
Kommt eine risikofreie Anlage (Zins rf) hinzu, zieht man vom Punkt rf die steilste mögliche Gerade an die Kurve. Diese Kapitalmarktlinie berührt den Effizienzrand in genau einem Punkt: dem Tangentialportfolio. Bemerkenswert: Alle Anleger wählen dasselbe Tangentialportfolio. Nur wie viel sie zwischen ihm und der risikofreien Anlage aufteilen, hängt von ihrer persönlichen Risikoscheu ab (Zwei-Fonds-Separation).
Die Grafik zeigt den Effizienzrand (blau), den ineffizienten Ast (grau gestrichelt), das Minimum-Varianz-Portfolio, die Kapitalmarktlinie ab rf und das Tangentialportfolio.
Abschnitt 4 von 4
Systematisches und unsystematisches Risiko
Streust du über immer mehr Titel, verschwindet ein Teil des Risikos, aber nicht alles. Man zerlegt das Gesamtrisiko einer Aktie in zwei Teile. Das unsystematische Risiko ist unternehmensspezifisch, ein Streik, ein Produktflop, und lässt sich wegdiversifizieren. Das systematische Risiko dagegen, das Marktrisiko aus Konjunktur, Zinsen oder Krisen, trifft alle Titel gemeinsam und bleibt bestehen, egal wie breit du streust.
Deshalb wird ein gut diversifiziertes Portfolio nur noch für das systematische Risiko „belohnt": Das unsystematische Risiko kann man kostenlos beseitigen, also gibt es dafür auch keine Risikoprämie. Wie man dieses verbleibende Marktrisiko misst und bepreist, ist genau die Brücke zum nächsten Kapitel.
Kern-Erkenntnis: Ein Portfolio ist mehr als die Summe seiner Teile. Die erwartete Rendite ist der gewichtete Durchschnitt, aber das Risiko sinkt, sobald die Korrelation unter +1 liegt. Das baut auf Kapitel 4 (Erwartungswert & Varianz einer Einzelanlage) auf und führt bis zum Tangentialportfolio. In Kapitel 6 (CAPM) geht es weiter: Dort wird das nicht wegdiversifizierbare systematische Risiko über das Beta gemessen und in eine faire Rendite übersetzt. Wer Korrelation, Portfoliovarianz und Effizienzrand sicher beherrscht, hat das Fundament dafür gelegt.
Durchgerechnetes Lehrbeispiel
ein 2-Anlagen-Portfolio
Aktie A: erwartete Rendite μA = 6 %, Standardabweichung σA = 10 %. Aktie B: μB = 12 %, σB = 25 %. Du legst 60 % in A und 40 % in B; die Korrelation beträgt ρAB = 0,3. Gesucht: erwartete Rendite und Risiko des Portfolios.
Der Clou: Der gewichtete Durchschnitt der Einzelrisiken wäre 0,6·10 % + 0,4·25 % = 16 % (das gilt genau bei ρ = +1). Weil ρ = 0,3 < +1 ist, liegt das echte Portfoliorisiko mit 13,11 % darunter, die Diversifikation spart rund 2,9 %-Punkte Risiko, ganz ohne Renditeverzicht.
Das Schaubild
Das μ-σ-Diagramm mit Effizienzrand
Die Grafik zeigt den Effizienzrand (blau), den ineffizienten Ast (grau gestrichelt), das Minimum-Varianz-Portfolio, die Kapitalmarktlinie ab rf und das Tangentialportfolio.
Mu-Sigma-Diagramm mit Effizienzrand, ineffizientem Ast, Minimum-Varianz-Portfolio, Kapitalmarktlinie und Tangentialportfolio
Aha-Moment zum Anfassen
Schieb die Korrelation
Start wie im Lehrbeispiel: 60 % in Aktie A (σ = 10 %), 40 % in Aktie B (σ = 25 %), ρ = 0,3. Schieb die Korrelation und beobachte das Portfoliorisiko: Nur bei ρ = +1 ist es der gewichtete Durchschnitt (16 %), sonst liegt es darunter, das ist der Diversifikationseffekt.
Ein Portfolio ist mehr als die Summe seiner Teile. Die erwartete Rendite ist der gewichtete Durchschnitt, aber das Risiko sinkt, sobald die Korrelation unter +1 liegt. Das baut auf Kapitel 4 (Erwartungswert & Varianz einer Einzelanlage) auf und führt bis zum Tangentialportfolio. In Kapitel 6 (CAPM) geht es weiter: Dort wird das nicht wegdiversifizierbare systematische Risiko über das Beta gemessen und in eine faire Rendite übersetzt. Wer Korrelation, Portfoliovarianz und Effizienzrand sicher beherrscht, hat das Fundament dafür gelegt.
Häufige Fragen
Muss ich die Portfolio-Formeln in der Klausur auswendig können?
Die zentrale Varianzformel für den 2-Anlagen-Fall solltest du sicher beherrschen, sie wird häufig verlangt und nicht immer gestellt. Wichtiger als das Auswendiglernen ist aber, dass du die drei Bausteine (zwei Einzelvarianzen plus Kovarianzterm) verstehst und die Gewichte sauber einsetzt.
Warum ist die Portfoliorendite einfach, das Portfoliorisiko aber nicht?
Die erwartete Rendite ist stets der gewichtete Durchschnitt der Einzelrenditen, ohne Zusatzterm. Beim Risiko kommt dagegen die Kovarianz ins Spiel: Weil sich Schwankungen teilweise ausgleichen, ist das Portfoliorisiko in der Regel kleiner als der gewichtete Durchschnitt der Einzelrisiken.
Kann eine riskante Aktie ein Portfolio insgesamt sicherer machen?
Ja, das kommt häufiger vor, als man denkt. Entscheidend ist nicht das Einzelrisiko, sondern wie die Aktie mit dem Rest zusammenläuft. Eine Aktie mit niedriger oder negativer Korrelation kann das Gesamtrisiko senken, auch wenn ihre eigene Standardabweichung hoch ist.
Wählen wirklich alle Anleger dasselbe Tangentialportfolio?
Im Modell mit einer risikofreien Anlage: ja. Das riskante Tangentialportfolio ist für alle gleich; individuell verschieden ist nur, wie viel jemand zwischen dieser Mischung und der risikofreien Anlage aufteilt. Sehr risikoscheue Anleger halten mehr risikofrei, risikofreudige mehr vom Tangentialportfolio.
Deine Frage
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Kapitel 6 · Einstieg
CAPM & Kapitalkosten
Stell dir vor, du legst dein Geld nicht in eine einzige Aktie, sondern verteilst es auf hunderte. Läuft bei einem Unternehmen etwas schief, ein Skandal, ein geplatzter Großauftrag, ein Fabrikbrand –, fällt das im großen Korb kaum auf: Solche Einzel-Pannen mitteln sich weg. Was aber alle Aktien gleichzeitig trifft, eine Rezession, eine Zinswende, ein Ölpreisschock –, bleibt bestehen, egal wie breit du streust.
Genau hier setzt das CAPM an: Für das wegdiversifizierbare Einzelrisiko bekommst du keine Extra-Rendite, nur für das Marktrisiko, das du nicht loswirst. Wie stark eine Aktie dieses Marktrisiko trägt, misst das Beta. Daraus ergibt sich die faire erwartete Rendite, und damit die Eigenkapitalkosten des Unternehmens.
Neugier-Fragen
Kurz erklärt, „Neugier-Fragen“: kleine Fragen, die du dir selbst stellst, um aktiv mitzudenken, nicht zum Googeln, sondern zum inneren Beantworten, während die Lektion läuft. So funktioniert’s, an einer Frage einmal vorgemacht (Frage, dann Denk-Schritt, dann Antwort, die du gleich prüfst):
Eine Aktie schwankt wild, aber völlig unabhängig vom Gesamtmarkt. Verlangt ein gut diversifizierter Anleger dafür eine höhere Rendite?
Denk-Schritt: Unabhängige Schwankung ist unsystematisch und lässt sich im breiten Portfolio wegdiversifizieren. Antwort: Nein, vergütet wird nur systematisches (Markt-)Risiko; ihr Beta läge nahe null, ihre faire Rendite nahe am risikolosen Zins.
Zwei Aktien haben dieselbe Gesamtschwankung (Standardabweichung), aber verschiedene Betas. Welche fordert nach dem CAPM die höhere erwartete Rendite?
Warum kann ein Wertpapier mit sehr hohem Gesamtrisiko trotzdem nur den risikolosen Zins als faire Rendite haben?
Dein Fahrplan
So gehen wir vor
In Kapitel 5 hast du den Effizienzrand bis zu einem besonderen Punkt verfolgt: dem TangentialportfolioTangentialportfolio: das riskante Portfolio mit dem besten Verhältnis aus Überrendite und Risiko, der Berührpunkt der Kapitalmarktlinie mit dem Effizienzrand (Kapitel 5)., dem riskanten Portfolio mit dem besten Rendite-Risiko-Verhältnis. Das CAPM macht daraus eine verblüffende Aussage: Wenn alle Anleger dieselben Informationen haben und sich zum selben risikolosen Zins Geld leihen und anlegen können, ist dieses Tangentialportfolio für jeden optimal. Jeder mischt nur noch individuell zwischen der sicheren Anlage und genau diesem einen riskanten Portfolio.
1
Vom Tangentialportfolio zum Marktportfolio, warum alle Anleger dasselbe riskante Portfolio halten.
2
Beta: das systematische Marktrisiko vom wegdiversifizierbaren Einzelrisiko trennen.
3
Die CAPM-Gleichung und die Wertpapiermarktlinie (SML) lesen.
4
Eigenkapitalkosten berechnen, plus ein kurzer Exkurs zur Markteffizienz.
Abschnitt 1 von 4
Vom Tangential- zum Marktportfolio
In Kapitel 5 hast du den Effizienzrand bis zu einem besonderen Punkt verfolgt: dem Tangentialportfolio, dem riskanten Portfolio mit dem besten Rendite-Risiko-Verhältnis. Das CAPM macht daraus eine verblüffende Aussage: Wenn alle Anleger dieselben Informationen haben und sich zum selben risikolosen Zins Geld leihen und anlegen können, ist dieses Tangentialportfolio für jeden optimal. Jeder mischt nur noch individuell zwischen der sicheren Anlage und genau diesem einen riskanten Portfolio.
Wenn aber alle dasselbe riskante Portfolio halten, muss es den gesamten Markt abbilden, es wird zum Marktportfolio. Genau das steht auf der Kursübersicht kurz als „TPF für alle → MPF". Das Marktportfolio ist damit der Bezugspunkt, an dem sich das Risiko jedes einzelnen Wertpapiers misst.
Abschnitt 2 von 4
Beta: das systematische Marktrisiko
Das Gesamtrisiko einer Aktie zerfällt in zwei Teile. Das unsystematische Risiko stammt aus firmeneigenen Ereignissen und lässt sich, wie im Einstieg, durch Diversifikation nahezu vollständig wegmitteln. Übrig bleibt das systematische Risiko, das alle Titel gemeinsam trifft und das niemand loswird.
Wie stark eine Aktie dieses Marktrisiko trägt, misst das Beta (β). Es ist definiert als das Verhältnis der Kovarianz des Wertpapiers mit dem Markt zur Varianz des Marktes:
βi = Cov(Ri, RM) / Var(RM)
Der Markt selbst hat definitionsgemäß β = 1. Nur dieses Beta, nicht die Gesamtschwankung σ, entscheidet über die faire Rendite. Auf der Archivskizze steht dafür kurz: „σ = diversifiziert, β = Marktrisiko".
β > 1 · aggressiv
Der Titel schwankt stärker als der Markt und trägt mehr systematisches Risiko.
höhere geforderte Rendite
β < 1 · defensiv
Der Titel schwankt schwächer als der Markt, etwa Versorger oder Nahrungsmittel.
niedrigere geforderte Rendite
β = 0 · risikolos
Kein Marktrisiko; die geforderte Rendite ist genau der risikolose Zins.
Rendite = rf
Abschnitt 3 von 4
CAPM & Wertpapiermarktlinie (SML)
Jetzt fügt sich alles zusammen. Das CAPM (Capital Asset Pricing Model) sagt: Die faire erwartete Rendite eines Wertpapiers ist der risikolose Zins plus eine Prämie, die genau seinem Marktrisiko entspricht:
ri = rf + βi · (rM − rf)
Der Term (rM − rf) ist die Marktrisikoprämie, der Aufschlag, den der Markt für eine Einheit Marktrisiko zahlt. Multipliziert mit dem Beta ergibt sich die individuelle Risikoprämie des Wertpapiers.
Zeichnet man diese Gleichung als Gerade, erwartete Rendite über dem Beta –, erhält man die Wertpapiermarktlinie (Security Market Line, SML). Sie beginnt beim risikolosen Zins (β = 0) und steigt mit der Marktrisikoprämie; das Marktportfolio liegt bei β = 1 auf ihr. Jedes fair bewertete Wertpapier liegt genau auf der SML. Liegt eine Aktie über der Linie, bietet sie mehr Rendite als für ihr Risiko gefordert, sie ist unterbewertet und attraktiv; liegt sie darunter, ist sie zu teuer.
Die Grafik zeigt die Wertpapiermarktlinie mit dem risikolosen Zins (β = 0), dem Marktportfolio (β = 1) und der Beispiel-Aktie des Lehrbeispiels (β = 1,2).
Abschnitt 4 von 4
Eigenkapitalkosten bestimmen
Die vom CAPM geforderte Rendite des Eigenkapitals ist zugleich das, was das Unternehmen seine Eigenkapitalkosten nennt: dieselbe Zahl aus zwei Blickwinkeln. Rechnen wir sie einmal sauber durch.
Durchgerechnetes Lehrbeispiel
Eigenkapitalkosten via CAPM
Ein Unternehmen soll seine Eigenkapitalkosten bestimmen. Gegeben sind der risikolose Zins rf = 3 %, die erwartete Marktrendite rM = 8 % und das Beta der Aktie β = 1,2.
Baustein
risikoloser Zins
Marktrisikoprämie
Beta
Wert
3 %
8 % − 3 % = 5 %
1,2
Schritt 1 · Marktrisikoprämie bestimmen
rM − rf = 8 − 3 = 5 %
Schritt 2 · Risikoprämie der Aktie
(Beta × Marktrisikoprämie):
Weil β = 1,2 > 1 ist, liegt die faire Rendite über der Marktrendite (8 %). Zum Vergleich: Eine defensive Aktie mit β = 0,4 käme nur auf 3 + 0,4 · 5 = 5 %. Nicht die Gesamtschwankung, allein das Beta bestimmt diese Zahl.
Das Schaubild
Die Wertpapiermarktlinie (SML)
Die Grafik zeigt die Wertpapiermarktlinie mit dem risikolosen Zins (β = 0), dem Marktportfolio (β = 1) und der Beispiel-Aktie des Lehrbeispiels (β = 1,2).
Wertpapiermarktlinie (SML): erwartete Rendite über dem Beta, mit risikolosem Zins, Marktportfolio und Beispiel-Aktie
Das bleibt hängen
Kern-Erkenntnis
Kern
Diversifikation löscht das unsystematische Risiko, bezahlt wird nur das systematische Marktrisiko, gemessen über das Beta. Das CAPM übersetzt dieses Beta in die faire erwartete Rendite und damit in die Eigenkapitalkosten. Das baut direkt auf Kapitel 5 (Portfoliotheorie, Tangentialportfolio) auf und ist das Fundament für Kapitel 8 (Kapitalstruktur): Dort wird gezeigt, wie sich die Kapitalkosten auf Eigen- und Fremdkapital aufteilen und wie Verschuldung (Leverage) das Beta des Eigenkapitals hebt.
Häufige Fragen
Muss ich die CAPM-Formel in der Klausur auswendig können?
In der Regel ist die CAPM-Gleichung rE = rf + β · (rM − rf) so zentral, dass du sie sicher beherrschen solltest; manchmal steht sie auch auf dem Formelblatt. Wichtiger ist, dass du die drei Bausteine, risikoloser Zins, Beta und Marktrisikoprämie, richtig zuordnest und einsetzt.
Was ist der Unterschied zwischen Beta und der Standardabweichung σ?
Die Standardabweichung σ misst die gesamte Schwankung einer Aktie (systematisch + unsystematisch). Das Beta misst nur den systematischen Teil, wie stark die Aktie mit dem Markt schwankt. Für die faire Rendite im CAPM zählt allein das Beta, weil sich der unsystematische Rest wegdiversifizieren lässt.
Woran erkenne ich, ob eine Aktie über- oder unterbewertet ist?
Vergleiche ihre erwartete Rendite mit der Wertpapiermarktlinie. Liegt sie darüber, also mehr Rendite als für ihr Beta gefordert –, gilt sie meist als unterbewertet und attraktiv; liegt sie darunter, als überbewertet. Genau auf der Linie ist sie fair bewertet.
Sind Eigenkapitalkosten und erwartete Rendite dasselbe?
Meist ja, es ist dieselbe Zahl aus zwei Blickwinkeln: aus Sicht des Unternehmens sind es Kosten, aus Sicht der Anleger die erwartete Rendite. Das CAPM liefert genau diesen Wert. Wie sich daraus die gesamten Kapitalkosten inklusive Fremdkapital ergeben, ist Thema von Kapitel 8.
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Kapitel 7 · Einstieg
Optionsbewertung
Stell dir vor, eine limitierte Sneaker-Kollektion kommt in vier Wochen raus. Du zahlst dem Händler heute 10 € und sicherst dir damit das Recht, das Paar dann für 200 € zu kaufen, kaufen musst du nicht. Wird das Modell zum Hype und im Wiederverkauf 300 € wert, ziehst du es durch und machst Kasse. Floppt es und kostet nur noch 150 €, lässt du das Recht verfallen und verlierst nur die 10 €.
Genau das ist eine Option: ein Recht, zu einem heute festgelegten Preis zu kaufen (oder zu verkaufen), ohne die Pflicht dazu. Die 10 € sind die Prämie, die 200 € der Basispreis. In diesem Kapitel lernst du, wofür man solche Rechte nutzt, und was sie heute fair wert sind.
Neugier-Fragen
Kurz erklärt, „Neugier-Fragen“: kleine Fragen, die du dir selbst stellst, um aktiv mitzudenken, nicht zum Googeln, sondern zum inneren Beantworten, während die Lektion läuft. So funktioniert’s, an einer Frage einmal vorgemacht (Frage, dann Denk-Schritt, dann Antwort, die du gleich prüfst):
Eine Aktie steht bei 100 €. Ein Call gibt das Recht, sie für 100 € zu kaufen, warum kostet dieses Recht überhaupt etwas, obwohl man ja nur zum selben Preis kaufen darf?
Denk-Schritt: Das Recht schadet nie, fällt der Kurs, lässt man es verfallen; steigt er, verdient man. Antwort: Weil nur die Gewinnchance zählt und das Verlustrisiko abgeschnitten ist, ist die Option heute einen positiven Preis (die Prämie) wert.
Zwei Anleger halten dieselbe Aktie: Der eine kauft einen Put, um sein Depot abzusichern, der andere kauft denselben Put, ohne die Aktie zu besitzen. Wer betreibt Hedging, wer Spekulation?
Warum braucht die Optionsbewertung im Binomialmodell weder eine Wahrscheinlichkeit für „rauf/runter“ noch eine erwartete Aktienrendite?
Dein Fahrplan
So gehen wir vor
Eine OptionOption: ein Recht (keine Pflicht), einen Basiswert in der Zukunft zu einem heute festgelegten Preis zu kaufen oder zu verkaufen. gibt ihrem Käufer eine Wahlmöglichkeit in der Zukunft, zu einem vorher festgelegten Preis zu handeln, nutzen muss er sie nicht. Zwei Grundtypen gibt es. Ein CallCall (Kaufoption): das Recht, den Basiswert zum Basispreis zu kaufen. Wertvoll, wenn der Kurs steigt. (Kaufoption) verbrieft das Recht zu kaufen, ein PutPut (Verkaufoption): das Recht, den Basiswert zum Basispreis zu verkaufen. Wertvoll, wenn der Kurs fällt. (Verkaufoption) das Recht zu verkaufen. Der Preis, zu dem gehandelt werden darf, heißt BasispreisBasispreis = Ausübungspreis = Strike (K): der vorab festgelegte Preis, zu dem der Basiswert gekauft (Call) oder verkauft (Put) werden darf., gleichbedeutend mit Ausübungspreis oder Strike (K).
1
Call oder Put? Recht statt Pflicht, Basispreis und Optionsprämie verstehen.
2
Auszahlungsprofile lesen: Long und Short, Call und Put, und der Break-even.
3
Wofür? Ein Depot absichern (Hedge) oder auf eine Kursrichtung spekulieren.
4
Was ist die Option wert? Binomialmodell (No-Arbitrage) und Put-Call-Parität.
Abschnitt 1 von 4
Was ist eine Option? Recht, Basispreis und Prämie
Eine Option gibt ihrem Käufer eine Wahlmöglichkeit in der Zukunft, zu einem vorher festgelegten Preis zu handeln, nutzen muss er sie nicht. Zwei Grundtypen gibt es. Ein Call (Kaufoption) verbrieft das Recht zu kaufen, ein Put (Verkaufoption) das Recht zu verkaufen. Der Preis, zu dem gehandelt werden darf, heißt Basispreis, gleichbedeutend mit Ausübungspreis oder Strike (K).
Für dieses Recht zahlt der Käufer heute die Optionsprämie. Damit stehen sich immer zwei Seiten gegenüber: Der Long (Käufer) hat das Recht, der Short (Verkäufer bzw. Stillhalter) hat die Pflicht, er muss liefern (Call) bzw. abnehmen (Put), wenn der Käufer ausübt. Warum tut er das? Weil er die Prämie kassiert. Der Käufer riskiert also höchstens die Prämie, der Verkäufer trägt das offene Risiko.
Abschnitt 2 von 4
Auszahlungsprofile: Long und Short, Call und Put
Am Laufzeitende (T) hängt die Auszahlung nur noch vom Aktienkurs ST ab. Ein Long Call wird nur ausgeübt, wenn der Kurs über dem Basispreis liegt; sonst lässt man ihn verfallen. Seine Auszahlung (Payoff) ist:
Payoff Call = max(ST − K, 0)
Beim Long Put ist es spiegelbildlich, er gewinnt, wenn der Kurs unter den Basispreis fällt:
Payoff Put = max(K − ST, 0)
Die Gegenseite (Short) hat jeweils das gespiegelte Profil: Was der Käufer gewinnt, verliert der Verkäufer, dafür hat dieser vorab die Prämie erhalten. Zieht man vom Payoff die gezahlte Prämie ab, erhält man den Gewinn. Der Long Call kommt daher erst über dem Break-even = Basispreis + Prämie in die Gewinnzone. Die Grafik zeigt das für einen Call mit Strike 100 € und einer Prämie von 11,43 € (dem Wert, den wir gleich in Abschnitt ④ ausrechnen).
Abschnitt 3 von 4
Wofür Optionen? Hedging und Spekulation
Optionen dienen zwei ganz verschiedenen Zwecken. Beim Hedging (Absicherung) dämpft die Option das Risiko einer bestehenden Position: Wer Aktien hält und einen Kurssturz fürchtet, kauft einen Put als Versicherung, fällt der Kurs, gleicht der Put den Verlust aus. Bei der reinen Spekulation setzt man dagegen ohne Grundposition auf eine Kursrichtung: Ein Long Call ist eine Wette auf steigende Kurse, ein Long Put auf fallende Kurse. Der Reiz für Spekulanten ist die Hebelwirkung, mit wenig Prämieneinsatz partizipiert man an großen Kursbewegungen, während der Verlust auf die Prämie begrenzt bleibt.
Abschnitt 4 von 4
Was ist die Option wert? Das Binomialmodell
Wie hoch die Prämie fair sein muss, verrät das Binomialmodell. Die Idee: Wir nehmen an, der Aktienkurs kann bis T nur zwei Werte annehmen, einen hohen und einen niedrigen. Dann bauen wir ein Replikationsportfolio aus Aktie und Kredit, das in beiden Zuständen dieselbe Auszahlung hat wie die Option. Nach dem No-Arbitrage-Prinzip (Law of One Price: zwei Positionen mit identischer künftiger Auszahlung müssen heute gleich viel kosten) muss die Option genau so viel kosten wie ihr Nachbau. Bemerkenswert: Wahrscheinlichkeiten für „rauf/runter" braucht man dafür nicht.
Durchgerechnetes Lehrbeispiel
ein Call im Binomialmodell
Eine Aktie steht heute bei S0 = 100 €. Bis zum Laufzeitende steigt sie entweder auf Su = 140 € oder fällt auf Sd = 90 €. Bewertet wird ein Call mit Basispreis K = 100 €; der risikofreie Zins beträgt r = 5 %. Was ist die Option heute wert (C0)?
Zustand am Ende
hoch (up)
niedrig (down)
Aktienkurs
Su = 140 €
Sd = 90 €
Call-Auszahlung max(S−K, 0)
Cu = 40 €
Cd = 0 €
Schritt 1 · Hedge-Ratio
(Option-Delta) bestimmen, wie viele Aktien bilden die Option nach?
Gegenprobe im down-Zustand: 0,8 · 90 − 68,57 · 1,05 = 72 − 72 = 0 € = Cd. Das Portfolio trifft beide Zustände, also ist 11,43 € der einzige arbitragefreie Preis. Keine Wahrscheinlichkeit, keine erwartete Rendite nötig.
Das Schaubild
Das Auszahlungsprofil des Long Calls
Die Gegenseite (Short) hat jeweils das gespiegelte Profil: Was der Käufer gewinnt, verliert der Verkäufer, dafür hat dieser vorab die Prämie erhalten. Zieht man vom Payoff die gezahlte Prämie ab, erhält man den Gewinn. Der Long Call kommt daher erst über dem Break-even = Basispreis + Prämie in die Gewinnzone. Die Grafik zeigt das für einen Call mit Strike 100 € und einer Prämie von 11,43 € (dem Wert, den wir gleich in Abschnitt ④ ausrechnen).
Auszahlungsprofil eines Long Calls über dem Aktienkurs bei Fälligkeit: Payoff-Knick am Basispreis, gestrichelte Gewinnlinie mit Break-even oberhalb des Basispreises
Das bleibt hängen
Kern-Erkenntnis
Kern
Eine Option ist ein Recht ohne Pflicht, ihr Wert entsteht aus asymmetrischen Auszahlungen. Bewertet wird sie nicht mit Wahrscheinlichkeiten, sondern über das No-Arbitrage-Prinzip: Ein Portfolio aus Aktie und Kredit bildet die Option nach, also muss sie genau so viel kosten. Das nutzt denselben Barwert-/Arbitrage-Gedanken wie Kapitel 1 und die Kapitalmarktlogik aus Kapitel 6 (CAPM). Das nächste Kapitel 8 wendet dieselbe No-Arbitrage-Idee auf die Kapitalstruktur (Modigliani-Miller) an, dort geht es um Eigen- vs. Fremdkapital, hier bleibt es bei den Optionen selbst. Wer Call/Put, Payoff, Binomialmodell und Put-Call-Parität sicher trennt, hat den Optionsteil der Klausur im Griff.
Häufige Fragen
Muss ich die Binomial- und Paritätsformeln in der Klausur auswendig können?
Die zentralen Formeln (Payoff, Hedge-Ratio, Put-Call-Parität) stehen meist auf einem Formelblatt. Wichtiger ist, dass du den Rechenweg beherrschst: Auszahlungen in beiden Zuständen bestimmen, Δ berechnen, Kredit-Baustein abzinsen, zum Optionspreis zusammensetzen. Wer die drei Schritte einmal verstanden hat, kann sie mit jeder Zahlenvorgabe wiederholen.
Woran erkenne ich, ob sich das Ausüben einer Option lohnt?
Vergleiche Kurs und Basispreis: Ein Call lohnt sich in der Regel, wenn der Kurs über dem Basispreis liegt (dann „im Geld"), ein Put, wenn der Kurs darunter liegt. Ob unterm Strich auch ein Gewinn bleibt, hängt zusätzlich von der gezahlten Prämie ab, der Break-even liegt beim Call meist um die Prämie über dem Basispreis.
Warum braucht das Binomialmodell keine Wahrscheinlichkeiten?
Weil die Bewertung über No-Arbitrage läuft, nicht über Erwartungswerte. Das Replikationsportfolio liefert in beiden Zuständen exakt die Optionsauszahlung, wie wahrscheinlich jeder Zustand ist, spielt für den heutigen Preis dann keine Rolle mehr. Genau deshalb ist das Ergebnis eindeutig und marktkonform.
Ist der Optionskäufer gegenüber dem Verkäufer nicht klar im Vorteil?
Nicht wirklich, die Prämie gleicht das aus. Der Käufer hat das Recht und ein begrenztes Verlustrisiko (nur die Prämie), der Verkäufer trägt das offene Risiko, kassiert dafür aber die Prämie im Voraus. Am fairen Optionspreis gemessen ist das Geschäft für beide Seiten ausgeglichen.
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Kapitel 8 · Einstieg
Modigliani-Miller
Stell dir vor, zwei Freunde kaufen dieselbe Eigentumswohnung für 300.000 €. Der eine zahlt alles aus Erspartem (nur Eigenkapital), der andere nimmt 150.000 € als Kredit auf und legt nur die Hälfte selbst dazu. Frage: Ist die Wohnung des zweiten dadurch mehr wert? Natürlich nicht, es ist dieselbe Wohnung, mit derselben Miete und demselben Marktpreis. Wie man den Kauf finanziert, ändert nichts am Wert der Sache selbst.
Genau das ist der verblüffende Kern von Modigliani-Miller: Auf einem vollkommenen Markt macht die Aufteilung in Eigen- und Fremdkapital das Unternehmen nicht wertvoller, so wie eine Pizza nicht größer wird, egal wie man sie schneidet. Erst wenn Steuern und Insolvenzkosten ins Spiel kommen, gibt es plötzlich doch eine beste Mischung. Dieses Abschlusskapitel bringt alle Fäden des Kurses zusammen, von Barwert über Risiko bis zum CAPM.
Neugier-Fragen
Kurz erklärt, „Neugier-Fragen“: kleine Fragen, die du dir selbst stellst, um aktiv mitzudenken, nicht zum Googeln, sondern zum inneren Beantworten, während die Lektion läuft. So funktioniert’s, an einer Frage einmal vorgemacht (Frage, dann Denk-Schritt, dann Antwort, die du gleich prüfst):
Wenn Fremdkapital (Zins 4 %) doch viel billiger ist als Eigenkapital (Renditeforderung 14 %), warum finanziert sich ein Unternehmen dann nicht einfach zu 100 % mit dem billigen Fremdkapital?
Denk-Schritt: Mit jedem Euro mehr Schulden steigt das Risiko für die verbleibenden Eigenkapitalgeber, sie verlangen eine höhere Rendite. Antwort: Im vollkommenen Markt hebt sich der Vorteil des billigen Fremdkapitals exakt durch die steigende Eigenkapitalforderung auf, die Kapitalkosten bleiben gleich.
Zwei Unternehmen haben genau dasselbe Geschäft, aber eines ist stärker verschuldet. Kann ihr Gesamtwert im vollkommenen Markt überhaupt auseinanderfallen?
Wenn der Steuervorteil der Schulden den Unternehmenswert erhöht, was hält Unternehmen davon ab, sich dann unbegrenzt zu verschulden?
Dein Fahrplan
So gehen wir vor
Die KapitalstrukturKapitalstruktur (KS): die Aufteilung der Unternehmensfinanzierung in Eigenkapital (EK) und Fremdkapital (FK). Der Verschuldungsgrad l = FK/EK misst sie. eines Unternehmens ist die Aufteilung seiner Finanzierung in zwei sehr unterschiedliche Bausteine. Das EigenkapitalEigenkapital (EK): Beteiligung am Unternehmen. EK-Geber hoffen auf Dividenden, haben Mitspracherechte, werden aber erst nach allen Gläubigern bedient, sie tragen das volle Risiko. stammt von den Eigentümern: Sie sind am Unternehmen beteiligt, hoffen auf Dividenden (Gewinnausschüttungen) und haben Mitspracherechte, tragen dafür aber das volle Risiko und werden zuletzt bedient. Das FremdkapitalFremdkapital (FK): Kredite und Anleihen. FK-Geber haben einen Rechtsanspruch auf Zins und Tilgung, werden zuerst bedient, tragen wenig Risiko, aber keine Mitspracherechte. kommt von Gläubigern (Banken, Anleihekäufern): Sie erhalten immer zuerst ihr Geld, Zins und Tilgung, auf die sie einen Rechtsanspruch haben, und tragen kaum Risiko, dafür aber keine Mitspracherechte.
1
Eigenkapital vs. Fremdkapital, wer trägt welches Risiko, welche Rechte und welche Rendite.
2
Modigliani-Miller I & II im vollkommenen Markt: Irrelevanz des Werts, aber steigende Eigenkapitalkosten.
3
Der Steuervorteil der Fremdfinanzierung (Tax Shield) hebt den Unternehmenswert.
4
Trade-off-Theorie: Steuervorteil gegen Insolvenzkosten, die optimale Kapitalstruktur.
Abschnitt 1 von 4
Eigenkapital vs. Fremdkapital: zwei ungleiche Geldgeber
Die Kapitalstruktur eines Unternehmens ist die Aufteilung seiner Finanzierung in zwei sehr unterschiedliche Bausteine. Das Eigenkapital stammt von den Eigentümern: Sie sind am Unternehmen beteiligt, hoffen auf Dividenden (Gewinnausschüttungen) und haben Mitspracherechte, tragen dafür aber das volle Risiko und werden zuletzt bedient. Das Fremdkapital kommt von Gläubigern (Banken, Anleihekäufern): Sie erhalten immer zuerst ihr Geld, Zins und Tilgung, auf die sie einen Rechtsanspruch haben, und tragen kaum Risiko, dafür aber keine Mitspracherechte.
Aus dieser Rangfolge folgt direkt das Preisgefüge: Weil Eigenkapital nachrangig haftet, verlangen die Eigentümer eine höhere Rendite als die Gläubiger. Im Modell gilt daher:
Eigenkapital (EK)
Fremdkapital (FK)
Renditeforderung
rE hoch, riskant
rD = rf, risikolos
Streuung (Risiko)
σEK > 0
σFK ≈ 0
systematisches Risiko
βEK > 0
βFK ≈ 0
Rechte
Dividende, Mitsprache
Zins + Tilgung, keine Mitsprache
Die zentrale Frage dieses Kapitels lautet: Gibt es eine optimale Kapitalstruktur, also eine beste Aufteilung von FK und EK, die den Unternehmenswert maximiert?
Abschnitt 2 von 4
Modigliani-Miller: Im vollkommenen Markt ist die Finanzierung egal
Die überraschende Antwort von Modigliani-Miller auf einem vollkommenen Kapitalmarkt (keine Steuern, keine Insolvenzkosten, keine Arbitrage) lautet für das MM-Theorem I: Der Gesamtwert des Unternehmens ist unabhängig von der Kapitalstruktur. Man kann den Wert als ewige Rente des erwarteten operativen Cashflows schreiben:
V = EK + FK = E(CF) / rwacc
Der Beweis läuft über Arbitrage: Zwei Unternehmen mit identischem Geschäftsrisiko und denselben Zahlungsströmen müssen denselben Wert haben. Wäre das teurere höher bewertet, würde man es leerverkaufen und das billigere kaufen, ein risikoloser Gewinn ohne Kapitaleinsatz. Solche Arbitrage gibt es im Gleichgewicht nicht, also gilt VA = VB.
Die Kapitalkosten (WACC, rwacc) sind der gewichtete Durchschnitt beider Renditeforderungen. Löst man diese Gleichung nach der Eigenkapitalrendite auf, erhält man das MM-Theorem II, den Kern der Klausur:
Dabei ist l der Verschuldungsgrad (Leverage) l = FK/EK. MM II sagt: Mit jedem Euro mehr Schulden steigt die geforderte Eigenkapitalrendite rElinear an. Genauso wird das systematische Risiko der Eigentümer gehebelt: βEK = βAsset · (1 + l). Der Clou: Der teurer werdende EK-Anteil und der wachsende, billige FK-Anteil gleichen sich exakt aus, rwacc bleibt konstant. Genau deshalb ändert sich der Wert nicht.
Abschnitt 3 von 4
Steuervorteil der Fremdfinanzierung: der Tax Shield
In der echten Welt gibt es Steuern, und die brechen die MM-Irrelevanz. Denn Fremdkapitalzinsen mindern als Aufwand den steuerpflichtigen Gewinn, Dividenden dagegen nicht. Jeder Euro Zins spart also Steuern. Diesen Steuervorteil nennt man Tax Shield (Steuerschild). Bei dauerhaftem Fremdkapital ist sein Barwert besonders einfach:
Barwert Tax Shield = τ · FK ⇒ VL = VU + τ · FK
Setzen wir die Solidus AG fort: Bei einem Unternehmensteuersatz τ = 30 % und dauerhaftem Fremdkapital von 50 Mio. € beträgt der Barwert des Steuervorteils 0,30 · 50 = 15 Mio. €. Der Unternehmenswert steigt dadurch von 100 auf VL = 115 Mio. €. Jetzt ist die Finanzierung nicht mehr egal: Mehr Schulden bedeuten mehr Steuervorteil, rein steuerlich betrachtet wäre maximale Verschuldung optimal.
Abschnitt 4 von 4
Trade-off-Theorie: die optimale Kapitalstruktur
Warum verschulden sich Unternehmen dann nicht zu 100 %? Weil hohe Schulden das Insolvenzrisiko treiben. Mit steigender Verschuldung wachsen die erwarteten Insolvenzkosten, direkte Kosten wie Anwälte und Notverkäufe, aber auch indirekte wie abspringende Kunden und Lieferanten. Die Trade-off-Theorie wägt beide Effekte gegeneinander ab:
VL = VU + Barwert Tax Shield − Barwert Insolvenzkosten
Am Anfang überwiegt der Steuervorteil, der Wert steigt. Ab einem gewissen Punkt wachsen die drohenden Insolvenzkosten schneller als der Steuervorteil, und der Wert fällt wieder. Das Optimum liegt genau dort, wo der zusätzliche Steuervorteil den zusätzlichen erwarteten Insolvenzkosten entspricht, die optimale Kapitalstruktur FK*.
Die Grafik zeigt den Unternehmenswert als Funktion des Fremdkapitals: die flache Linie ohne Schulden (VU), die steigende Gerade mit reinem Steuervorteil und die reale Trade-off-Kurve mit ihrem Hochpunkt beim optimalen Fremdkapital.
Kern-Erkenntnis: Im vollkommenen Markt ist die Finanzierung irrelevant (MM I), Verschuldung hebelt nur die Eigenkapitalrendite (MM II), ohne den Wert zu ändern. Erst Steuern (Tax Shield, hebt den Wert) und Insolvenzkosten (senken ihn) erzeugen eine echte optimale Kapitalstruktur (Trade-off). Dieses Abschlusskapitel schließt den Kreis: Die Renditeforderung rE und das Beta stammen direkt aus Kapitel 6 (CAPM & Kapitalkosten), der Barwertgedanke aus Kapitel 1–3, die Risikoprämie aus Kapitel 4–5. Wer MM I/II, Tax Shield und Trade-off sicher trennt, beherrscht den letzten großen Klausurblock.
Durchgerechnetes Lehrbeispiel
die „Solidus AG" hebelt ihr Eigenkapital
Die Solidus AG ist bisher rein eigenfinanziert. Ihre Kapitalkosten (= unverschuldete Eigenkapitalrendite) betragen rwacc = 9 %, der risikolose Fremdkapitalzins liegt bei rD = 4 %. Der erwartete ewige operative Cashflow ist 9 Mio. € pro Jahr.
Schritt 1 · Unternehmenswert (unverschuldet)
als ewige Rente
VU = E(CF) / rwacc = 9 / 0,09 = 100 Mio. €
Schritt 2 · Umschuldung
Die AG nimmt Fremdkapital auf und kauft eigene Aktien zurück, bis FK = EK = 50 Mio. €, also Verschuldungsgrad l = FK/EK = 1. Im vollkommenen Markt bleibt V = 100 Mio. € (MM I).
Schritt 3 · neue Eigenkapitalrendite (MM II)
Schritt 4 · Gegenprobe über die WACC
(EK/V = FK/V = 0,5):
rwacc = 0,5·14 % + 0,5·4 % = 7 % + 2 % = 9 % ✓
Die Verschuldung hat die Eigenkapitalrendite von 9 % auf 14 % getrieben, nicht als Geschenk, sondern als Risikoprämie für das gehebelte Eigenkapital. Der Unternehmenswert und die Kapitalkosten bleiben unverändert. In dieser perfekten Welt lautet die Antwort auf die Ausgangsfrage also: Es gibt keine optimale Kapitalstruktur, die Finanzierung ist irrelevant.
Das Schaubild
Unternehmenswert und Verschuldung
Die Grafik zeigt den Unternehmenswert als Funktion des Fremdkapitals: die flache Linie ohne Schulden (VU), die steigende Gerade mit reinem Steuervorteil und die reale Trade-off-Kurve mit ihrem Hochpunkt beim optimalen Fremdkapital.
Unternehmenswert als Funktion des Fremdkapitals: flache Linie ohne Schulden, steigende Steuervorteil-Gerade und Trade-off-Kurve mit Hochpunkt beim Optimum
Das bleibt hängen
Kern-Erkenntnis
Kern
Im vollkommenen Markt ist die Finanzierung irrelevant (MM I), Verschuldung hebelt nur die Eigenkapitalrendite (MM II), ohne den Wert zu ändern. Erst Steuern (Tax Shield, hebt den Wert) und Insolvenzkosten (senken ihn) erzeugen eine echte optimale Kapitalstruktur (Trade-off). Dieses Abschlusskapitel schließt den Kreis: Die Renditeforderung rE und das Beta stammen direkt aus Kapitel 6 (CAPM & Kapitalkosten), der Barwertgedanke aus Kapitel 1–3, die Risikoprämie aus Kapitel 4–5. Wer MM I/II, Tax Shield und Trade-off sicher trennt, beherrscht den letzten großen Klausurblock.
Häufige Fragen
Muss ich die Modigliani-Miller-Formeln in der Klausur auswendig können?
Die Kernformel rE = rwacc + (rwacc − rD)·l und die WACC-Definition solltest du sicher parat haben, sie sind das Herz des Kapitels. Wichtiger als das reine Auswendiglernen ist aber, dass du verstehst, warum rwacc im vollkommenen Markt konstant bleibt und wie du zwischen WACC- und MM-II-Form hin- und herrechnest.
Wann gilt die MM-Irrelevanz, und wann nicht mehr?
Die reine Irrelevanz (MM I) gilt nur im vollkommenen Markt: keine Steuern, keine Insolvenzkosten, keine Informationsunterschiede. Sobald Steuern hinzukommen, hebt der Tax Shield den Wert; kommen Insolvenzkosten dazu, entsteht in der Regel eine optimale Kapitalstruktur (Trade-off). In der Klausur ist entscheidend, dass du sauber auseinanderhältst, in welcher Welt du gerade rechnest.
Warum steigt rE mit der Verschuldung, obwohl rwacc konstant bleibt?
Mehr Schulden bedeuten mehr Risiko für die verbleibenden Eigenkapitalgeber, sie werden ja erst nach den Gläubigern bedient. Als Ausgleich verlangen sie eine höhere Rendite. Dieser Anstieg von rE wird aber genau dadurch kompensiert, dass ein größerer Anteil billiges Fremdkapital ist. Beide Effekte heben sich im vollkommenen Markt exakt auf.
Ist mehr Fremdkapital wegen des Steuervorteils immer besser?
In der Regel nein. Der Tax Shield spricht zwar für Schulden, aber mit steigender Verschuldung wachsen die erwarteten Insolvenzkosten oft überproportional. Die Trade-off-Theorie sieht das Optimum dort, wo sich zusätzlicher Steuervorteil und zusätzliche Insolvenzkosten gerade die Waage halten, meist bei einer moderaten, branchenabhängigen Verschuldung.
Deine Frage
Nimm sie mit ins Live-Klausurtraining
Gib deine komplexeste aktuelle Frage ein. Sie wird lokal auf deinem Gerät gespeichert und geht so nicht verloren, keine automatische Antwort auf dieser Seite.
Frage für die nächste Live-Session notieren
Notiert
Teste dich
Adaptive Fragerunde
Starte mit 5 Fragen. 3 oder mehr richtig, es geht schwerer weiter, sonst bekommst du Festigungsfragen. Danach kannst du beliebig oft weitere Fragen anfordern. Dein Gesamtergebnis bleibt sichtbar.
Runde 1 · 5 FragenGesamt: 0 / 0
Kapitel 9 · Einstieg
Klausurtraining
Denk an deine praktische Führerscheinprüfung: Einparken, Autobahn, Vorfahrt, jedes Manöver hast du in der Fahrschule einzeln geübt, und einzeln konntest du alles. In der Prüfung kommt dann alles gemischt, in zufälliger Reihenfolge, und der Prüfer schaut auf die Uhr. Wer besteht, ist nicht unbedingt der beste Einparker, sondern wer jede Situation schnell erkennt, ruhig bleibt und keine leichten Fehler macht.
Genau das ist die OFIN-Klausur: Barwert, Aktien und Anleihen, Portfolio, CAPM, Optionen und Kapitalstruktur hast du in Kapitel 1–8 einzeln gelernt, jetzt kommen sie gemischt und mit laufender Uhr. In diesem Kapitel trainierst du keinen neuen Stoff, sondern die Klausur-Kompetenz selbst: Aufgabenblöcke blitzschnell einordnen, dein Zeitbudget steuern und die typischen Fehlerfallen umgehen.
Neugier-Fragen
Kurz erklärt, „Neugier-Fragen“: kleine Fragen, die du dir selbst stellst, um aktiv mitzudenken, nicht zum Googeln, sondern zum inneren Beantworten, während die Lektion läuft. So funktioniert’s, an einer Frage einmal vorgemacht (Frage, dann Denk-Schritt, dann Antwort, die du gleich prüfst):
Die Klausur hat 90 Punkte in 90 Minuten, wie viel Zeit darfst du einer 8-Punkte-Aufgabe höchstens geben?
Denk-Schritt: Ein Punkt entspricht rund einer Minute Bearbeitungszeit, und ein Puffer zum Kontrollieren muss übrig bleiben. Antwort: Etwa 8 Minuten, wer 20 Minuten investiert, bezahlt mit sicheren Punkten an anderer Stelle.
Bei einer MC-Frage kannst du zwei von fünf Optionen sicher ausschließen, wie stark steigt deine Trefferchance, wenn du jetzt rätst?
„Anleihe notiert unter pari“ und „Aktie liegt oberhalb der SML“, warum steckt in beiden Aussagen derselbe Denkschritt, nämlich der Vergleich mit einer fairen Alternative?
Dein Fahrplan
So gehen wir vor
Wir gehen den Fahrplan Schritt für Schritt durch, mit dem Übersichts-Raster der Aufgabenblöcke, deinem Zeitbudget, einem voll durchgerechneten Rechenbeispiel und der Fallen-Sammlung für den MC-Teil.
1
Die sechs Aufgabenblöcke der OFIN-Klausur und ihr jeweiliges Kernwerkzeug erkennen.
2
90 Punkte in 90 Minuten: Zeitbudget setzen und Punkteausbeute steuern.
3
Eine gemischte Klausuraufgabe komplett durchrechnen, von der Zustandsrendite bis zum Kaufurteil.
4
Den MC-Teil mit System knacken und die typischen Fehlerfallen entschärfen.
Abschnitt 1 von 4
Die sechs Aufgabenblöcke, und ihr Kernwerkzeug
Fast jede OFIN-Klausuraufgabe gehört zu einem von sechs Blöcken, sie bündeln genau den Stoff der Kapitel 1–8. Erkennst du den Block, weißt du sofort, welches Kernwerkzeug zieht, und musst nicht mehr überlegen, sondern nur noch sauber rechnen. Diese Tabelle ist dein mentaler Startbildschirm:
Block (Kapitel)
Typische Klausurfrage
Kernwerkzeug / Entscheidungsregel
Investition & Barwert (1–3)
Projekt durchführen? Wie viel Konsum ist morgen maximal drin?
Kapitalwert (NPV) > 0; der Kapitalmarkt trennt Investition und Konsum
Aktien & Anleihen (2–3)
Was ist die Aktie / die Anleihe heute wert?
Barwert der Zahlungen; Gordon-Growth; Effektivrendite vs. Kupon
Modigliani-Miller I & II; der WACC bleibt ohne Steuern konstant
Abschnitt 2 von 4
90 Punkte in 90 Minuten: Zeit und Punkte klug verteilen
In den bisherigen OFIN-Übungsklausuren galt fast durchgehend: 90 Punkte in 90 Minuten, ein Punkt entspricht also rund einer Minute Bearbeitungszeit. Das ist deine wichtigste Steuergröße: Eine 8-Punkte-Aufgabe „darf“ etwa 8 Minuten kosten, nicht 20. Drei Regeln setzen das um:
Erst sichern
Starte mit den Blöcken, die du sicher beherrschst, diese Punkte dürfen nie aus Zeitmangel liegen bleiben.
sicher & schnell zuerst
Nicht festbeißen
Hakt eine Teilaufgabe, markieren und weiterziehen, spätere Teilaufgaben sind oft unabhängig lösbar.
Blockade → weiter
Teilpunkte holen
Rechenweg immer hinschreiben, auch bei falschem Endwert gibt es meist Punkte für die richtige Methode.
Weg > Ergebnis
Die Grafik zeigt eine typische Punkteverteilung, abgeleitet aus früheren Übungsklausuren (transformiert; die Gewichtung kann im aktuellen Semester abweichen, Markteffizienz lief zuletzt eher als Exkurs). Lies sie als Zeitbudget: Balkenhöhe = Punkte ≈ Minuten.
Abschnitt 3 von 4
Eine gemischte Klausuraufgabe, komplett durchgerechnet
Der beliebteste Aufgabentyp im Rechenteil verbindet mehrere Blöcke in einer Geschichte: Zustandsrenditen (Kapitel 4), CAPM-Sollrendite (Kapitel 6) und Bewertung (Kapitel 1–2). Genau so einen Mix rechnen wir einmal vollständig durch, mit dem Rechenweg, den du in der Klausur hinschreiben solltest.
Abschnitt 4 von 4
MC-Strategie und die typischen Fehlerfallen
Der Multiple-Choice-Teil belohnt Systematik: Erst selbst rechnen, dann die Option suchen, so führen dich Distraktoren nicht in Versuchung. Kommst du nicht durch, streiche Optionen mit falschem Vorzeichen, falscher Größenordnung oder falscher Einheit: Wer von fünf Optionen zwei sicher ausschließt, hebt schon die reine Ratewahrscheinlichkeit von 20 % auf 33 %, prüfe aber vorab, ob falsche Kreuze Punktabzug bedeuten. Diese fünf Fallen kosten jedes Semester die meisten Punkte:
„Kupon = Rendite“
Nur bei einem Kurs von pari stimmen beide überein. Die Effektivrendite vergleicht immer Kurs und alle Zahlungen.
richtig: Kurs vs. pari prüfen
„σ mittelt sich wie μ“
Falsch. Rendite und Beta mitteln sich mit den Gewichten, die Portfolio-Streuung hängt zusätzlich an der Korrelation.
richtig: erst ρ ansehen
„IRR ist immer eindeutig“
Bei mehrfachem Vorzeichenwechsel gibt es mehrere interne Zinsfüße. Dann entscheidet der Kapitalwert.
richtig: NPV-Regel
Abzinsen mit dem Kupon
Diskontiert wird mit dem Marktzins der gleich riskanten Alternative, der Kupon beschreibt nur die Zahlung selbst.
richtig: Marktzins r
„Mehr FK senkt die Kosten“
Ohne Steuern bleibt der WACC konstant: Den günstigen FK-Anteil zehren steigende EK-Kosten exakt auf.
richtig: MM II
Kern-Erkenntnis: Das Klausurtraining bringt keinen neuen Stoff, es bündelt Kapitel 1–8. Wer je Block das eine Kernwerkzeug parat hat, NPV > 0, Barwert & Gordon-Growth, Erwartungswert & Diversifikation, SML, Duplikation & Put-Call-Parität, MM I/II, erkennt jede Aufgabe in Sekunden. Der Rest ist Handwerk: 1 Punkt ≈ 1 Minute, erst die sicheren Punkte, Rechenweg immer hinschreiben.
Durchgerechnetes Lehrbeispiel
Ist die Solaris-Aktie ein Kauf?
Für die Marktrendite sind drei gleich wahrscheinliche Zustände gegeben. Die Solaris-Aktie hat ein Beta von 1,5, der risikolose Zins beträgt 2 %. In einem Jahr erwarten Analysten je Aktie einen Gesamtzufluss von 27 € (Verkaufserlös inkl. Dividende); die Aktie notiert heute bei 23 €.
Zustand
Boom
Normal
Flaute
Wahrscheinlichkeit
1/3
1/3
1/3
Marktrendite
12 %
8 %
−2 %
Schritt 1 · erwartete Marktrendite
(Erwartungswert über die Zustände):
μM = ⅓ · (12 % + 8 % + (−2 %)) = 6 %
Schritt 2 · CAPM-Sollrendite der Aktie
(Wertpapiermarktlinie):
Schritt 3 · fairer Preis heute
(erwarteten Cashflow mit der CAPM-Sollrendite abzinsen):
P0 = 27 / 1,08 = 25 €
Schritt 4 · Urteil
Der Marktpreis von 23 € liegt unter dem fairen Wert von 25 €, die Aktie ist unterbewertet. Zum Preis von 23 € beträgt die erwartete Rendite 27/23 − 1 ≈ 17,4 % und liegt über der Sollrendite von 8 %, der Punkt liegt oberhalb der SML: kaufen.
Klausur-Falle: Der erwartete Cashflow wird mit der risikoadäquaten CAPM-Rendite (8 %) abgezinst, nicht mit dem risikolosen Zins (2 %). Wer hier mit 1,02 diskontiert, bewertet die riskante Aktie wie eine sichere Anleihe und liegt deutlich daneben.
Das Schaubild
Punkteverteilung, das Prüfstück
Die Grafik zeigt eine typische Punkteverteilung, abgeleitet aus früheren Übungsklausuren (transformiert; die Gewichtung kann im aktuellen Semester abweichen, Markteffizienz lief zuletzt eher als Exkurs). Lies sie als Zeitbudget: Balkenhöhe = Punkte ≈ Minuten.
Balkendiagramm: typische Punkteverteilung einer OFIN-Übungsklausur über sechs Aufgabenblöcke, insgesamt 90 Punkte in 90 Minuten
Das bleibt hängen
Kern-Erkenntnis
Kern
Das Klausurtraining bringt keinen neuen Stoff, es bündelt Kapitel 1–8. Wer je Block das eine Kernwerkzeug parat hat, NPV > 0, Barwert & Gordon-Growth, Erwartungswert & Diversifikation, SML, Duplikation & Put-Call-Parität, MM I/II, erkennt jede Aufgabe in Sekunden. Der Rest ist Handwerk: 1 Punkt ≈ 1 Minute, erst die sicheren Punkte, Rechenweg immer hinschreiben.
Häufige Fragen
Muss ich für das Klausurtraining neuen Stoff lernen?
Nein. Dieses Kapitel bündelt in der Regel nur, was in den Kapiteln 1 bis 8 bereits dran war. Neu ist die Klausur-Kompetenz selbst: Aufgabentypen schnell einordnen, unter Zeitdruck sauber rechnen und die typischen Fallen umgehen, genau das üben wir hier.
Wie viel Zeit darf eine einzelne Aufgabe kosten?
In den bisherigen Übungsklausuren galt meist: 90 Punkte in 90 Minuten, also rund eine Minute je Punkt. Eine 8-Punkte-Aufgabe hat damit ein Budget von etwa 8 Minuten. Plane zusätzlich ein paar Minuten Puffer zum Kontrollieren ein, und brich zähe Teilaufgaben rechtzeitig ab.
Lohnt sich Raten im Multiple-Choice-Teil?
Blind eher nicht, mit Ausschlussverfahren meist schon: Wer von fünf Optionen zwei sicher streicht, hebt die Trefferchance von 20 % auf 33 %. Prüfe aber vorab das Bewertungsschema deiner Klausur: Gibt es Punktabzug für falsche Kreuze, ist Zurückhaltung bei reinen Ratefragen in der Regel die bessere Wahl.
Bekomme ich in der Klausur eine Formelsammlung gestellt?
In den früheren OFIN-Übungsklausuren lag in der Regel eine Formelsammlung bei (Barwert, Renten, Portfolio, CAPM). Verlass dich aber nicht blind darauf: Entscheidend ist, die passende Formel dem Aufgabentyp zuzuordnen und die Zahlen sauber einzusetzen, genau das trainierst du in diesem Kapitel.
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